ESO. Intervalos que nos hablan de la crisis climática

Empezamos el nuevo curso con una entrada muy pegada a la actualidad. En el mes de septiembre de este año 2019, Naciones Unidas ha convocado la Cumbre para la Acción Climática 2019. 

Como dice el anuncio anterior, aún estamos a tiempo de ganar esta carrera contra la crisis climática mundial.

El primer paso para solucionar un problema es ser conscientes de que existe. La precisión y sencillez que poseen las matemáticas para el estudio de datos numéricos, son unas magníficas gafas con las que mostrar a los miopes intencionados o ignorantes de la grave situación a la que nos enfrentamos.

Nosotros utilizaremos los intervalos de números reales para estudiar cómo han evolucionado las temperaturas en Sevilla en el transcurso de las últimas décadas.

Por un lado, acudiremos a la página de la AEMET para conocer los resúmenes climatológicos mensuales en España.

En al imagen inferior puedes ver un gráfico del resumen del mes de mayo de 2019.

En ella se comparan las temperaturas medias en España en mayo de 2019 con las del mismo mes en el periodo 1981-2010. Debajo se definen los intervalos de variación y a la derecha del mapa se asocia a cada uno de esos intervalos un color.

Por ejemplo, el color que corresponde a las siglas MC = Muy cálido, quiere decir que la temperatura media en mayo de 2019 está en el intervalo del 20% de las más cálidas entre los años 1981-2010.

Por otro lado, nos iremos a la página Tu tiempo.net para conocer el histórico de temperaturas medias en ciudades de España en esos años.

En la imagen inferior puedes ver la temperatura media del mes de julio en Sevilla del año 2004.

Una vez seleccionadas la ciudad, el año y el mes del que deseamos conocer la temperatura media, nos fijamos en el final de la segunda columna, es decir en la media mensual (T) de las temperaturas medias diarias. En la imagen anterior la hemos señalado con una flecha.

Haciendo uso de las páginas anteriores te proponemos la siguiente tarea: comprobar si son correctos los mapas de resúmenes climatológicos mensuales que publica la AEMET.

Pero no te preocupes, sólo tendrás que comprobarlo para Sevilla y en un mes que tú elijas.

Para hacer tu trabajo tienes que dar lo siguientes pasos:

1. Elige un mes de entre los que aparecen en el resumen de la AEMET. No tiene porque ser del año 2019.
2. Busca en la página Tu tiempo.net las temperaturas medias de Sevilla (Aeropuerto) en el mes elegido y en el intervalo que indica el resumen que has elegido.
3. Organiza los datos obtenidos y realiza los cálculos necesarios para comprobar si el color del mapa pertenece al intervalo correcto.
4. Realiza un informe a mano o digital donde se recojan las actuaciones anteriores. En dicho informe debes incluir una breve reflexión en la que expreses tu opinión sobre la crisis climática, basada sobre todo en los datos y el mapa que has utilizado en este trabajo.
5. Entrega a mano o envía por correo electrónico el informe a tu profesor o profesora.

Y, no olvides, aún estamos a tiempo de ganar esta carrera. Nuestra actitud es fundamental.

ESO. Función de proporcionalidad inversa: fórmulas y gráficas

En esta entrada presentamos dos escenas de GeoGebra en las que se trabajan las funciones de proporcionalidad inversa.

Podemos afirmar que estas funciones ocupan el tercer puesto en el estudio de las funciones elementales de las matemáticas en la educación secundaria. ¿A quién asignarías las medallas de oro y plata?

Y bien que se merecen estar en el podio ya que aparecen en muchos procesos físicos y químicos. Por ejemplo, en la famosa relación entre masa, densidad y volumen.

El objetivo de las dos escenas es relacionar la expresión analítica y la gráfica de esta clase de funciones.

Como solía decir un catedrático de universidad en mis años de facultad: las matemáticas no son más que la ciencia de las relaciones. Pues eso, relaciona, relaciona fórmulas y gráficas de la función de proporcionalidad inversa.

PROYECTO. ¿Nos echamos un monólogo matemático?

En este proyecto de trabajo trimestral la voz la tienes tú. La voz y si quieres, la imagen.

La propuesta de trabajo consiste en que grabes un audio o vídeo de entre uno y dos minutos en el que divulgues y expliques con humor y de forma amena algún contenido que has trabajado a lo largo del trimestre.

Aquí te dejamos dos ejemplos del canal de YouTube Derivando del conocido y genial divulgador de las matemáticas Eduardo Sáenz de Cabezón.

¿Has visto cómo expone cuenta las matemáticas? Casi todas las ideas que expone las has trabajado este trimestre. Algunas de ellas son conceptos áridos, pero cuando él lo cuenta parecen más amenos. Y de este modo consigue su objetivo: que se despierte la curiosidad y el deseo de saber más en las personas que no conocen la materia.

Pues eso es lo que te proponemos, que elijas un concepto de los estudiados este trimestre y lo divulgues en un breve audio de entre uno o dos minutos de duración.

Es conveniente que en primer lugar escribas un guión de lo que vas a contar y que una vez hecho esto, lo leas varias veces hasta que lo cuentes con soltura. A continuación, realiza la grabación con tu móvil y se la envías a tu profesor o profesora.

En el caso de que elijas hacer un vídeo, si eres menor de edad, debes disfrazarte para que no se te reconozca. Ponerte un bigote postizo o una máscara, por ejemplo. Estos elementos también pueden formar parte de tu interpretación.

Lo dicho: ¿nos echamos un monólogo matemático?

ESO. Función cuadrática, de la expresión analítica a la gráfica

Esta entrada es continuación y complementaria de la anterior, pero ahora debes determinar la gráfica si conoces la expresión analítica.

ESO. Función cuadrática: de la parábola a la expresión analítica

Presentamos en esta entrada una escena de GeoGebra en la que se trabaja el estudio de las funciones cuadráticas.

El objetivo es averiguar la expresión analítica conocida la gráfica de la función, en este caso una parábola. Para ello es necesario analizar las transformaciones geométricas que se han efectuado sobre la función cuadrática más conocida f(x) = x ².

4º ESO. Puzzle de ecuaciones de la recta en el plano

En la enseñanza secundaria, llamamos geometría analítica al estudio con coordenadas y ecuaciones de los elementos geométricos tanto del plano como del espacio, y de las relaciones que se existen entre ellos.

En ocasiones, notación y fórmulas impiden  reconocer el origen geométrico de los objetos que son motivo de análisis.

Por ejemplo, en el estudio de la recta en plano, siendo importantes las diferentes ecuaciones con las que se expresa, es mucho más significativo reconocer e interpretar los elementos geométricos que la definen.

Ese es el objetivo que persigue la actividad que te proponemos en esta entrada del blog.

Instrucciones:

El puzle consta de nueve piezas. En cada una de ellas hay escrita cuatro características que corresponden a otras tantas rectas. Estas características son: ecuación general, ecuación explícita, un vector director (u), un vector normal (n), la pendiente (m), o dos puntos P y Q contenidos en la recta.

Recorta las nueve piezas con cuidado. A continuación, vuelve a montarlo de tal forma que las características adyacentes de dos piezas que se toquen sean de la misma recta. Esto se debe cumplir para los cuatro lados: izquierdo, derecho, superior e inferior.

El puzle es conveniente que lo resuelvas en pareja, para así confrontar y discutir las posibles opciones para montarlo.

Una vez hecho el puzle y comprobada la solución, pégalo en tu cuaderno. Además, completa la siguiente tabla con las seis rectas cuyos elementos aparecen al menos en cuatro piezas.

BTO. Reglas de derivación

Creemos que el objetivo principal del estudio de la derivada de una función es comprender su significado. Es decir, interpretar gráfica y analíticamente su valor, deducir propiedades y obtener información de la relación funcional que se está trabajando.

Dicho esto, consideramos que, a pesar de que existen buenísimos programas de cálculo simbólico (CAS), también es necesario que los alumnos conozcan las reglas de derivación y tenga soltura en su manejo y simplificación.

En esta entrada incluimos una presentación con las reglas básicas de derivación.

ESO, BTO. Operaciones básicas con vectores

Esta entrada de nuestro blog está dedicada a las operaciones básicas con vectores: suma, vector opuesto, producto por un escalar, combinación lineal.

Para entender con más facilidad lo que implica cada una de las acciones anteriores, te presentamos la siguiente escena de GeoGebra.

En ella hay dos vectores, u y v que se pueden mover y modificar. También aparecen cuatro casillas de verificación. Al hacer clic sobre cada una de ellas aparecerá representada la operación indicada: suma de u y v, opuesto de u, multiplicación de u por un número r, y combinaciones lineales de u y v, que vendrán dadas por los valores que asignemos a r y s en los deslizadores de la izquierda.

El objetivo es que trabajes con ella y de esa forma conozcas mejor lo que significan cada una de las operaciones que se presentan.

ESO. Conos truncados que quitan la sed

Un buen vaso de agua es lo que realmente quita la sed. Pero, ¿te has fijado detenidamente en el aspecto que tienen los vasos? Por ejemplo, cómo definirías en términos matemáticos la forma de este que aparece en la fotografía.

Imagen de elaboración propia

Si lo giras 180º y lo colocas con la boca hacia abajo, ¿a qué figura geométrica te recuerda?

Un vaso como el de la foto anterior no es más que un cono truncado. Y del volumen que encierra este tipo de figuras trata la tarea que te proponemos.

Te pedimos que busques en tu casa un vaso con esa forma geométrica, cojas un metro o regla y tomes las medidas que consideres oportunas del vaso para calcular cuál es su volumen, es decir, la capacidad que tiene en centímetros cúbicos.

Para conocer la capacidad real del vaso, llénalo de agua o cualquier otro líquido hasta casi rebosar. A continuación vierte dicho líquido en un recipiente medidor.

Cuando termines todo lo anterior, manda un correo electrónico a tu profesor que incluya:

1. Varias fotos del vaso en donde se vean con claridad las medidas que has tomado.
2. Los cálculos que has realizado para determinar el volumen del vaso.
3. Una foto del recipiente medidor con el agua o líquido que llenaba tu vaso.
4. En el caso de que exista mucha diferencia entre el resultado de tus cálculos y el volumen que has obtenido en el recipiente medidor, un comentario sobre cuál puede ser el motivo del error cometido.

Imagen de elaboración propia

ESO. Mosaico nazarí de la Alhambra con GeoGebra: el avión

La Alhambra de Granada es el monumento andaluz más visitado. Este conjunto arquitectónico esconde gran variedad de tesoros artísticos, nosotros vamos a poner nuestra atención en los azulejos que adornan las paredes de  sus palacios y patios.

En concreto, pondremos nuestra atención en uno conocido como el "avión" o la "flecha".

Imagen descarga de la página Geometría Dinámica de José Antonio Mora

Vamos a desarrollar su construcción con GeoGebra y para simplificarla, rectificaremos sus lados.

En este vídeo puedes seguir paso a paso cómo se genera.

Una vez que hayas dibujado el mosaico, tienes que determinar en él los cuatro movimientos que hemos explicado en clase: traslación por un vector, rotación, simetría central y simetría por un eje.

Para cada uno de ellos tienes que señalar la pieza inicial y la resultante del movimiento, y los elementos que interviene en cada uno de ellos, es decir:

1. Traslación: indicar el vector que realiza el desplazamiento.
2. Rotación: mostrar el centro de giro y decir el ángulo girado.
3. Simetría central: señalar el punto respecto el que se hace la simetría.
4. Simetría axial: representar la recta que realiza este movimiento.

ESO. Escalas y Google Maps: el camino más corto

Haz la siguiente pregunta a un familiar tuyo que supere los cuarenta años: ¿en su juventud, qué objetos no faltaban en el equipaje cuando realizaba un largo viaje en coche? Casi seguro que la lista de utensilios incluía un mapa de carreteras.

Fotografía de elaboración propia

Mapas fáciles de extender y complicados de recoger. Con multitud de símbolos, colores y tamaños para representar y distinguir la categoría de las poblaciones y carreteras.

A vosotros, adolescentes nacidos en el siglo XXI y acostumbrados a las novedosas herramientas de la tecnología digital, este tipo de mapas os parecerá una reliquia, pero hay aspectos de ellos que aún siguen vigentes. Por ejemplo, uno muy importante y matemático: la escala. 

Observa la escala del mapa que aparece en la fotografía superior. Es 1:1000000. Como bien dice a continuación: un centímetro en el mapa corresponde a 10 kilómetros en la realidad. Si el mapa está correctamente hecho, la relación que existe entre lo representado y su imagen en papel es una semejanza. Recuerda: "la misma forma pero distinto tamaño".

El conocido y popular Google Maps también representa los planos y mapas a escala.

En el plano del pueblo de Trevélez puedes ver que el segmento señalado con la flecha roja corresponde a 200 metros en la realidad. Para conocer la escala de este plano tienes que medir con una regla graduada la longitud en centímetros de ese segmento, y realizar los cálculos para determinar qué distancia en la realidad corresponde a un centímetro en el plano.

Debes tener en cuenta que la escala variará según el tamaño de la pantalla del ordenador, móvil o tableta, y del tamaño de la ventana en la que veas la aplicación.

Seguro que ya te has pensado que la tarea que te proponemos está relacionada con mapas y escalas. Y has acertado, pero también tiene que ver con distancias en carreteras que en línea recta son mucho más cortas.

Observa la siguiente imagen.

En ella hemos pedido a Google Maps que busque la ruta para ir en coche de Capileira a Trevelez. Como puedes ver, al ser una zona montañosa de la falda sur de Sierra Nevada, el camino dista mucho de ser recto. En total son 23,3 km.

Te proponemos la siguiente tarea:

1. Utiliza Maps para buscar el recorrido en coche entre dos localidades en las que el camino tenga curvas o sea necesario por motivos orográficos dar un rodeo.
2. Una vez obtenida la ruta, calcula la distancia real que separa en línea recta las dos poblaciones. Para ello tienes que hacer mediciones con regla graduada sobre el mapa y cálculos para obtener la escala y la longitud solicitada, tanto en el mapa como en la realidad.
3. Para terminar, utiliza la herramienta "Medir la distancia" que incluye Google Maps, y determina la distancia real en línea recta que separa las poblaciones. Así puedes comprobar la precisión de tus cálculos.

Para acceder a esta herramienta sólo tienes que hacer clic sobre el mapa con el botón derecho de tu ratón, aparecerá una menú en el que la última opción es "Medir la distancia". 

En esta última imagen puedes ver que la distancia en línea recta entre Trevélez y Capileira es de algo más de nueves kilómetros.

Cuando hayas terminado envía tu profesor o profesora un correo electrónico que incluya:

• Una captura de pantalla donde se vean con claridad los pueblos que has elegido, la ruta y la distancia que se recorre, así como el segmento donde se indica la escala del mapa.
• Los valores que has obtenido al medir con la regla graduada la longitud del segmento de la escala y la distancia en línea recta entre las poblaciones.
• Los cálculos que has realizado para hallar la escala real del mapa, el valor de dicha escala expresada de la forma: "1 centímetro en el mapa corresponde a x centímetros en la realidad".
• La distancia real en línea recta entre las dos poblaciones, así como los cálculos que has realizado para obtenerla.
• Una segunda captura de pantalla que en la que, utilizando la herramienta "Medir la distancia", se vea con claridad la distancia real que hay entre las dos poblaciones. Si el resultado de tus cálculos es muy diferente de esta distancia, razona a qué se puede deber el error cometido. Recuerda que el error que importa es el relativo.
• Tu comentario personal donde expliques con brevedad por qué has elegido esas poblaciones y cuáles son las razones de que las distancias en línea recta y por la ruta sean tan diferentes.

Mucho ánimo, y ya lo dijo don Antonio Machado: "se hace camino al andar".

19º Concurso de Ingenio Matemático, IES San Isidoro

En las imágenes inferiores se pueden ver las instrucciones del 19º Concurso de Ingenio Matemático y los dos problemas que hay que resolver para inscribirse en él.

En los los siguientes enlaces también se pueden descargar los archivos en formato pdf: instrucciones, problemas.

Os animamos a participar, seguro que pasaréis un buen rato intentando resolver los problemas planteados.

¡Mucha suerte!

ESO. ¿Cuánto miden las columnas de la Alameda de Hércules?

Nuestro instituto está muy cerca de la Alameda de Hércules y mucho de vosotros pasáis por ella todos los días. Pero, ¿conocéis cuál es el origen de esta gran plaza? En esta entrada de la página Explora Sevilla podéis leer la historia de uno de los rincones de Sevilla con más vida en la actualidad.

Nosotros nos vamos a fijar en los dos monumentos que sirven de pórtico de entrada por la zona sur a la Alameda, y que le dan nombre.

Imagen de elaboración propia

De estas esbeltas columnas nos preguntamos por su altura. ¿Cuánto medirán? ¿Qué podemos hacer para saberlo?

Seguiremos un procedimiento parecido al utilizado en una entrada anterior, "¿Qué no hubiera hecho Thales con un teléfono móvil?", para conocer la altura de nuestra clase.

En los próximos días, en la hora de nuestra clase de matemáticas, nos acercaremos a la Alameda para hacer una foto con nuestros móviles, medir la altura del pedestal y, ya en clase, realizar unas últimas mediciones y cálculos necesarios para conocer la altura de nuestras columnas.

Una cuestión muy importante a la hora de hacer las fotos es que el móvil debe de estar perpendicular al suelo. Por ello es necesario que llevemos también una cuerda y un objeto que haga de peso, para así disponer de una plomada.

Ya veremos cómo los resultados que obtengamos no serán todos los mismos. ¿Qué ha podido ocurrir? ¿Qué hacemos? No debemos preocuparnos, la estadística nos echará una mano y nos ayudará a aproximarnos lo mejor posible a la altura exacta.

Ya ves, ¡nos vamos de paseo a la Alameda!

ESO. Lecturas científicas: Ruffini, mucho más que una regla

Busca en Internet las palabras "regla de". Casi seguro que una de las opciones que aparece para completar la búsqueda es "regla de ruffini", así, en minúsculas. Si la seleccionas comprobarás que hay más de 140.000 entradas.

¿Estaría Paolo Ruffini orgulloso de ello? Para la mayoría de los estudiantes de secundaria Ruffini es sólo una regla, un método para dividir polinomios. No hay duda de que la regla oculta la figura de su creador.

Busto de Paolo Ruffini expuesto en la biblioteca comunal de su 

ciudad natal, Valentano, en Italia. Imagen con licencia CC.

Por diversas circunstancias, los profesores de matemáticas apenas dedicamos tiempo a que nuestros alumnos conozcan la historia de cómo se crearon y desarrollaron los conceptos matemáticos que trabajamos en clases. En una entrada anterior, "Lecturas científicas: viva la diferencial", desarrollo algo más esta idea.

Solucionar un poco lo anterior es el objetivo de esta tarea en la que te acercarás a la vida y obra del gran Paolo Ruffini.

Para empezar, debes leer con atención y sin prisas las páginas 47, 48, 49 y 50 del libro "Las matemáticas de los cristales", escrito por Manuel León y Ágata Timón, y publicado por el CSIC. Sólo tienes que leer los apartados "La demostración no reconocida de Ruffini" y "Las bases de la revolución del álgebra hacia la teoría de grupos".

Aquí las puedes ver.

Si haces clic sobre las imágenes, estas aparecerán más grandes

A continuación, copia el enunciado y contesta estas ocho cuestiones en tu cuaderno de trabajo.

1. Haz un breve resumen de entre seis y ocho líneas del texto que tienes que leer.
2. Busca el nombre de todos los matemáticos que aparecen en él, infórmate sobre su nacionalidad, fecha de nacimiento y fallecimiento. Representa todos estos datos en una línea del tiempo. ¿Qué hecho histórico de gran importancia tuvo lugar en esas fechas? Sítúalo también en la línea del tiempo.
3. ¿Cuál fue la mayor contribución de Ruffini al desarrollo de las matemáticas, según el texto?
4. ¿Crees que hay alguna "ecuación" de quinta grado que sí se puede resolver con operaciones elementales? Si es así, escríbela y di su soluciones.
5. ¿Cómo se llama la obra en la que Ruffini publicó sus resultados?, ¿tuvo éxito con ella?
6. ¿A quién envió Ruffini su trabajo?, ¿lo tuvieron en cuenta, lo atendieron?, ¿por qué tuvieron esta actitud?
7. ¿Cuáles eran las ideas fundamentales del trabajo de Ruffini?, ¿quiénes siguieron posteriormente estas ideas?
8. Por último, ¿piensas que Ruffini estaría contento si supieras que sólo lo recordáramos por su famosa regla?, ¿qué te ha parecido lo que has leído?

Ruffini vivió 57 años repartidos entre los siglos XVIII y XIX. Fue un hombre que luchó para que se reconociera su trabajo, pero no tuvo suerte en este empeño. Sus contemporáneos fueron injustos con él, no lo seamos también nosotros. Ruffini es mucho más que una regla.

(En el copyright del libro se indica que la intención de los editores es que sea utilizado lo más ampliamente posible, que sean adquiridos originales para permitir la edición de otros nuevos y que, de reproducir partes, se ha constar el título y la autoría. Y así lo hemos hecho. Gracias por esta generosidad por parte de la editorial).