1975, 1980, 1986, 1997... 2025. ¿Coincidencias del calendario?

Esta es la primera entrada del blog desde que me jubilé el pasado mes de septiembre. Por tanto, ya no es un blog de mis aulas, pero sí espero que lo sea de aquellos docentes y alumnos que se pasen por aquí.

La entrada está dedicada a estudiar cuándo dos años diferentes tienen un calendario común, es decir, todas las jornadas de ambos años caen en el mismo día de la semana.

La idea me vino a la cabeza cuando me di cuenta que este año 2025 el 20 de noviembre cae en jueves, igual que el 20 de noviembre de 1975, fecha de la muerte del dictador de mis país, Francisco Franco. Rápidamente pensé en por qué ocurría esto. ¿Casualidad?

Pues aquí empieza el trabajo que propongo en esta entrada. El reto es bien sencillo: ¿cada cuántos años se repiten los días de la semana en el calendario?

¿En qué otros años el 20 de noviembre fue jueves? ¿Por qué ocurren las repeticiones? ¿Siempre ocurre cada 50 años? 

Son muchas las preguntas que surgen a la hora de encontrar la solución al problema planteado.

Es importante tener en cuenta que será muy diferente si se utiliza o no la información disponible en Internet. De todas formas, razonar el porqué de las repeticiones es un trabajo de reflexión que debe realizar el alumnado.

Por último, una curiosidad, antes de la aparición de Internet, cuándo se planteaba la duda de en qué día de la semana caía una fecha determinada de un año pasado o futuro, era frecuente usar un "Calendario perpetuo". Aquí se puede ver uno de ellos.

Enlace a la página en donde se ha obtenido la imagen.

Como despedida de esta primera entrada, un deseo: que 50 años después no se vuelvan a repetir las condiciones para que ningún tipo de dictadura vuelva a España.

Inteligencia artificial: de la gráfica al enunciado del problema.

Gran parte de los docentes están muy preocupados porque su alumnado utiliza las herramientas que ofrece la inteligencia artificial para realizar casi todo los trabajos que les proponen. Intentar limitar esa tendencia es un empeño imposible.

En esta entrada del blog no sólo no te prohibimos que utilices la inteligencia artificial, al contrario, te invitamos a que lo hagas.

Observa la gráfica que aparece en la siguiente escena de GeoGebra (debes tener en cuenta que la escena cambia cada vez que actualizas o vuelves a entrar en la página del blog).

El trabajo que te proponemos consiste en la redacción de un problema en contexto de la vida real, al estilo de los que te plantean en las pruebas de la PEVAU, en el que se relacionen dos variables de tal forma que la función que lo modeliza tenga como gráfica la anterior.

Para ayudarte debes hacer uso de la inteligencia artificial, ahora bien, te vamos a exigir dos condiciones: sólo puedes hacerle tres preguntas y debes realizar capturas de pantallas de tu conversación con ella.

Los documentos que tienes que entregar para completar tu trabajo son:

• Captura de pantalla de la escena de GeoGebra en donde se vean con claridad tanto la gráfica como el código.
• Las capturas de pantalla de tus consultas a la inteligencia artificial.
• El enunciado del problema que planteas, que debe incluir al menos determinar la expresión analítica de la función que tiene como gráfica la de tu escena de GeoGebra, junto con la solución al mismo.

En realidad, para llevar a cabo este trabajo lo más importante es que utilices tu inteligencia natural.

Jugando con polinomios: "Quién es quién" y "Parejas"

No hay mejor manera de comenzar este 2025 que con un juego para un concepto a veces tan árido como el de polinomio.

El objetivo de esta tarea es trabajar las características más básicas de los polinomios. Se puede llevar al aula en los primeros niveles de la educación secundaria, cuando se está iniciando el estudio de ellos, o en niveles superiores para refrescar lo ya visto en cursos anteriores.

Para jugar hacen falta 16 cartas o fichas con un polinomio escrito en cada una de ellas. En la imagen se pueden ver dichos polinomios. 

Debemos imprimir en cartulina y recortar las fichas en función del número de alumnos que tengamos en clase. Como se va a llevar a cabo en parejas es conveniente imprimir uno por cada dos alumnos. Siempre hay que imprimir una más, dada la dinámica del juego.

Veamos las reglas.

Quién es quién de características básicas de polinomios.

La mecánica del juego es la clásica del famoso juego infantil “¿Quién es quién?” con las caras de diferentes personajes. 

En vez de las caras con gafas, bigotes, color de pelo y sexo, aparece un polinomio en cada una de las 16 cartas. Los polinomios se identifican con las siguientes características:

a) ¿Tiene grado superior a 3?

b) ¿Es negativo el término independiente?

c) ¿Está completo el polinomio?

d) ¿Está ordenado de mayor a menor grado de sus términos?

Con estas cuatro preguntas debe ser posible identificar cualquiera de los 16 polinomios.

Reglas del juego:

1) Es un juego de parejas, un alumno tiene la baraja con 16 fichas de polinomios, el otro una sola carta. El que tiene las 16 fichas las pone en la mesa boca arriba. El de la única carta la mira y la coloca boca abajo, sin que su compañero la vea en ningún momento.

2) El que tiene las 16 fichas debe adivinar en 4 preguntas la que tiene su compañero. Cada vez que hace una pregunta retira en un montón las que él cree que no cumplen la condición preguntada. Los montones de cada pregunta los coloca separados. 

3) Cuando sólo queda una carta, el de la carta única muestra la suya. Si coinciden, gana un punto el que tenía las 16. Si no coinciden se miran lo montones y se identifica entre los dos jugadores quién ha cometido el error. El que no ha cometido el error gana 1 punto.

4) Se juega cuatro veces intercambiando en cada jugada los papeles: el que pregunta y quién tiene la única carta. Se comunica al profesor o profesora la puntuación.

Juego de las parejas.

Teniendo en cuenta que los 16 polinomios van emparejados ya que está un polinomio y su opuesto, podemos también jugar con ellos a las parejas.

La regla del juego son muy sencillas: se ponen las 16 fichas boca abajo y de forma alternada cada jugador levanta dos cartas y se las lleva si están emparejadas (es decir, sin son un polinomio y su opuesto). En el caso de que no lo estén, las vuelve a colocar boca abajo en la misma posición que estaban. Gana el jugador que cuando ya no queda ninguna tenga más cartas.

Como decía el famoso presentador de mediados de los años 80 del siglo pasado: ¡A jugar!

Ciclismo o senderismo: probabilidades deportivas

 ¿Eres una persona activa? ¿Te gusta el ejercicio físico? En la siguiente actividad de GeoGebra puedes ver que en un grupo de amigos hay bastantes miembros que les gusta hacer largos caminos, bien andando bien en bici.

La probabilidad nos ayudará a conocer algo mejor tanta afición por moverse.

Lee con detenimiento la situación que se plantea y contesta a las preguntas que se realizan. Debes tener en cuenta que cada vez que vuelvas a ver la actividad el escenario será distinto.

Ya sabes, se hace camino al andar o al peladear.

Grafos, matrices y los paseos de María

Mucho he tardado en publicar la primera entrada del curso 2024-25, pero es que los comienzos cada vez son más complicados. Pero, aquí estamos.

La primera se la dedico a mis alumnos y alumnas de segundo de bachillerato que a fecha de hoy, 10 de octubre, aún no saben cómo será su prueba de acceso a la universidad.

Para empezar, debes observar con detenimiento la imagen inferior en la que se explica cómo se construye la matriz adyacente M de un grafo.

Los elementos de M son 0 si no hay un camino (segmento) que una dos puntos y 1 si existe dicho segmento. La primera fila indica los caminos que salen de 1 y llegan: 1, 2, 3 y 4. La segunda fila los caminos que salen de 2 y llegan a 1, 2, 3 y 4. Y así sucesivamente. Los valores de la diagonal principal son todos 0 porque no hay caminos que salgan y vuelvan al mismo punto.

La matriz elevada a 3 indica los recorridos de un punto a otro en los que hay que pasar por tres caminos. No importa que sea ir y volver, ahí también se utilizan tres caminos. Por ejemplo nos fijamos en el valor 3 que son los recorridos que van del punto 1 al punto 2. Los tres recorridos serían: 1-2-1-2, 1-3-1-2 y 1-2-3-2. Otro ejemplo, nos fijamos en el 4 que indica los recorridos que hay para ir del punto 2 al 3, estos serían: 2-3-3-3, 2-1-2-3, 2-3-1-3 y 2-3-4-3.

Explicado lo anterior, te mostramos la siguiente escena de GeoGebra en la que se plantean tres preguntas.

Para responder a ellas tienes que construir la correspondiente matriz de adyacencia y después realizar las operaciones necesarias. No te preocupes, puedes usar GeoGebra para facilitarte los cálculos.

Esperemos que tu trabajo ayude a María, seguro que ella te lo agradece.

Funciones definidas por partes: el IVA de la luz

El precio de la electricidad, lo que comúnmente llamamos recibo de la luz, es una de las preocupaciones a la hora de cuadrar los gastos mensuales de las familias y empresas.

A principios de marzo de 2024 se destacó la noticia en los medios de comunicación del cambio que iba a sufrir el IVA aplicado en este concepto. En este enlace del diario 20 Minutos puedes acceder a dicha información.

Lee con atención la noticia, sobre todo los primeros párrafos y a continuación debes determinar una función definida por partes que relacione el precio inicial en euros del megavatio horas con el precio final, una vez que se le ha aplicado el IVA.

También debes explicar por qué al final de los subtítulos se dice que se encarecerá un 15% el recibo anual.

Ya ves, las mates lo explican todo. Ánimo.

¿Matemáticas emocionales?

 Desde su aparición en la nueva legislación educativa las "matemáticas emocionales" han creado mucha polémica y han sido objeto de crítica. 

En esta entrada vamos a tratar de acercarnos al lado emocional de las matemáticas fijándonos en cómo los medios de comunicación utilizan el lenguaje de las matemáticas para manipular la información que quieren transmitir.

Para conseguir este objetivo te proponemos que busques dos noticias en las que aparezcan conceptos matemáticos similares en sus titulares y que en los que, desde tu punto de vista, se ponga de manifiesto el uso a conveniencia que se hacen de ellos.

Aquí te dejamos dos situaciones que pueden ayudarte a entender lo que te proponemos.

En este primer ejemplo podemos ver con ese "más de 200 ultras" en "seis años" parece una tasa mayor que "mil mujeres" en "seis meses". Si realizamos unos cálculos sencillos: 200/6 da una proporción de 33,33 ultras al año, en tanto que 1000/0,5 arroja una tasa de 2000 mujeres al año. 

En este segundo caso, "24 soldados" es una expresión más precisa y cercana que "decenas de terroristas". 24 parece que individualiza a los soldados muertos, en tanto que decenas despersonaliza a los terroristas eliminados.

La forma de redactar estas cuatro noticias no es inocente, en ellas hay una intencionalidad y se aprovecha de forma tendenciosa la precisión del lenguaje matemático.

Tus dos imágenes deben estar acompañadas con el enlace a las noticias y un breve comentario de por qué las has elegido y que juego desempeñan tanto la expresión de los conceptos matemáticos que aparecen en ellas como su redacción.

Aunque el lenguaje matemático es conciso, en ocasiones puede ser manoseado de tal forma que comunique emociones alejadas de su exactitud.

Inecuaciones de segundo grado en el mar

 La primera entrada de 2024 va a tener aromas marítimos. En ella he incrustado una escena de GeoGebra que simula el salto de un pez sobre las aguas del mar. La intención de dicha situación es estudiar cuándo una ecuación de segundo grado es positiva, en este caso, cuándo el pez está en vuelo.

Te invitamos a que mires con detenimiento la escena, leas lo que se pide en ella y realices los cálculos necesarios para resolver el problema que se plantea. 

Te deseamos que tengas buena mar y llegues a buen puerto.

¿Notación científica en la prensa?

 Seguro que ya te han explicado en clase de Matemáticas o Física qué es la notación científica y para qué se utiliza. Casi seguro que cuando te lo explicaron pensaste: otra cosa más que no voy a utilizar en mi vida cotidiana. Pero eso no es así. 

Si quieres entender noticias de la prensa, sobre todo las relacionadas con ciencia y tecnología, debes conocer y entender cómo la notación científica expresa tanto los números muy grandes, como los muy pequeños.

En esta entrada del blog te proponemos como tarea que busques en la prensa no especializada noticias es la que bien en los titulares o en el desarrollo de la misma aparezcan números expresados en notación científica o potencias de diez.

En este enlace te dejamos un ejemplo: ¿Qué es un attosegundo? Y en la imagen puedes ver el titular de la noticia.

Observa cómo tras el titular, en la parte inferior, aparece la expresión 10^-18.

Una noticia parecida a esta es lo que te pedimos que busques. ¿Qué debes enviar a tu profesor o profesora en el formato que él o ella te indique?

1. Una captura del titular en la que se vea el número en notación científica o potencia de 10.
2. El enlace a la noticia.
3. Un breve comentario de cuatro o cinco líneas sobre por qué se ha tenido que utilizar ese formato para representar un número. ¿Crees que era totalmente necesario su uso? Si es así, explica el motivo.
4. Un informe, también cuatro o cinco líneas, en el que resumas la noticia y tu opinión sobre ella.

Esperemos que con esta tarea te hayamos convencido de que las matemática escolares también aparecen en las noticias.

Ciencia en el islam: ¿la época oscura?

Empezamos este curso 2023-24 con una entrada algo oscura, aunque a decir verdad vamos a intentar arrojar algo de luz sobre la ciencia en el islam de los siglos IX, X y XI de nuestra era.

Para ello te invitamos a que veas los siguientes vídeos, sobre todo el segundo de ellos.

Esperemos que no te hayan resultado muy aburridos y que sientas curiosidad por saber algo más sobre lo que en ellos se cuenta.

Y de eso va el trabajo que te proponemos: conocer más sobre la historia y personalidades de aquella "época oscura".

Para ello, debes contestar las siguientes preguntas:

1. ¿Por qué crees que se denomina la época oscura?
2. ¿A qué se refiere "por la ciencia de los antiguos"? ¿Quiénes eran esos "antiguos"? Y qué hizo la civilización islámica de aquella época por esa ciencia.
3. Haz una pequeña descripción, diez o doce líneas, de cada uno de los personajes que aparecen en el segundo vídeo, en la que debes exponer dónde nacieron, en qué época, a qué se dedicaron y cuáles fueron algunos de sus descubrimientos o estudios.
4. ¿Alguno de ellos era andalusí? ¿Cuáles? Por cierto sabes lo que significa andalusí.
5. ¿Cuál de ellos te ha resultado más interesante? ¿Por qué?
6. Investiga y busca otras dos científicos andalusíes de aquella época. Haz una breve descripción de ambos, al estilo de como has tenido que hacerlo con los del vídeo.
7. ¿Conocías a algunos de estos andalusíes? 
8. Por último, crees que fue una época oscura. Nos gustaría saber tu opinión.

Envía tus respuesta a tu profesor o profesora en el formato que él o ella te indique.

Te deseamos que tengas un buen curso.

Incógnitas monstruosas: primeros pasos con ecuaciones

¡Ecuaciones, incógnitas, soluciones! ¡Qué tres palabras más horrorosas! Para salir corriendo y no seguir leyendo.

Pero, ya verás que no es tan complicado entender lo que significan gracias a la página Educaplus de mi amigo Jesús Peña.

En este enlace vas a acceder a la actividad "Puzle algebraico". Lee con atención las explicaciones que se dan en las dos primeras pantallas y, cuando lo hayas entendido, accede a una similar a esta:

Te pedimos que resuelvas varias veces los puzles que van apareciendo.

Para empezar esta actividad, tienes que hacerlo sin escribir ni explicar nada. Así vas viendo cómo lo tienes que hacer y escribes en tus respuestas para comprobar si son las correctas.

A continuación, te pedimos que resuelvas otro puzle, pero ahora tienes que explicar en tu cuaderno de trabajo cuál ha sido tu estrategia para resolverlo. ¿Qué monstruo has elegido primero? ¿Cómo has hallado su valor? ¿Cuál has elegido segundo? Y así hasta escribir y comprobar si tu respuesta era la acertada.

Para terminar, tienes que resolver un último puzle en el que debes asignar una incógnita a cada monstruo y, en vez de decir qué monstruo has elegido primero, tienes que escribir en tu cuaderno de trabajo la incógnita que has escogido en primer lugar y la ecuación que planteas, así como resolverla. A continuación debes seguir los mismos pasos para el segundo y tercer monstruos, quiero decir, la segunda y terceras incógnitas. Por supuesto, debes comprobar si tu respuesta es la idónea.

Son incógnitas monstruosas, sí, pero seguro que te han facilitado el primer contacto con las ecuaciones y sus soluciones.

Distribución de las medias muestrales: estima, que algo queda

 En una entrada anterior presentamos una simulación con GeoGebra en la que proponíamos realizar una estimación de la proporción de individuos de una población que cumplía una cierta característica.

En esta entrada mostramos una nueva simulación en la que se tiene que estimar la media de una población a partir de una muestra de cierto tamaño. Pero, la estimación no será puntual sino por intervalos. Esto quiere decir, tendremos que determinar un intervalo de confianza, conocida una probabilidad para él, lo que se denomina un nivel de confianza.

En el caso que no se puede ver la escena de GeoGebra anterior, en este enlace se puede acceder a ella.

Lo dicho en el título: estima, que algo queda.

ESO. ¿Qué hago a lo largo de un día? Fracciones y vida diaria.

 Esta entrada es continuación o ampliación de una de hace ya seis años, "¿Qué hago en un día cualquiera? Fracciones y vida cotidiana".

El objetivo es invitarte a reflexionar sobre las actividades más usuales que llevas a cabo a lo largo de un día laborable, el tiempo que dedicas a ellas y qué representan respecto del total de la jornada.

Imagen adaptada de la página Etsy

Para resolver la tarea tendrás que elaborar un documento en el que indiques las actividades más comunes y que duren más de media hora en conjunto a lo largo de un día laborable típico de tu vida de estudiante. Debes señalar entre 6 y 10 actividades.

De cada una de ellas tienes que indicar el tiempo que dedicas. A continuación, deberás representar en un rectángulo, rectángulos más pequeños para cada uno de estas actividades, indicando el tiempo que empleas y las fracciones que representan respecto a las 24 horas del día. El tamaño del rectángulo de cada actividad debe estar proporcionado respecto al rectángulo que representa el total de un día.

Seguidamente, suma las fracciones asociadas a cada actividad y comenta el resultado que has obtenido.

Supongamos que en los cinco días de una semana repites el reparto anterior. ¿Cuántas horas dedicas de lunes a viernes a cada una de tus actividades? Y si los repitieras todos los días laborables de cuatro semanas seguidas. ¿Cuántas horas dedicarías a cada una de las actividades?

Por último, y a la vista de tu gráfico y de todos los datos hallados en los apartados anteriores, realiza una valoración personal y crítica de lo que haces en tu vida cotidiana y escolar.

Para despedirnos, un consejo: aprovecha bien tu tiempo. Ya lo dice la expresión latina: "tempus fugit".

¿Distribución de las proporciones muestrales? ¿Qué dices, chiquillo?

 Efectivamente, ¡distribución de las proporciones muestrales! A que suena raro. Pues no debería ser así, porque gracias a ellas somos capaces de conocer características de una población estudiando qué ocurre con una pequeña muestra de ella. 

Y eso es lo que queremos que estudies con la siguiente escena de GeoGebra, cómo de afinada será nuestra predicción sobre la proporción de la población teniendo en cuenta la proporción de una muestra.

Seguro que tu estimación se ajustará bien a la proporción buscada.

"El Caso": sucesos y más sucesos

 "El Caso" fue un periódico que en las lejanas décadas de los 60 y 70 del siglo pasado informaba de forma escandalosa de todos los sucesos macabros que ocurrían en aquella España aún en blanco y negro.

En esta entrada también vamos a relacionarnos con "sucesos", pero estos son mucho menos terroríficos, o no, ya veremos.

Los sucesos a los que nos referimos son los que ocurren al llevar a cabo una experiencia aleatoria.  Y nos centraremos en las operaciones y relaciones que podemos efectuar con ellos: unión, intersección, diferencia y complementario.

En la siguiente escena del Proyecto Descartes, creada por la profesora Rita Jiménez, puedes practicar con ellas. Haz clic en la imagen para ir a la actividad.

¿Terrorífico o no, tú decides si es un suceso para publicarlo en "El Caso"?

Escena.

Matemáticas II en 100 vídeos

 En esta entrada presento los cien vídeos que he grabado a lo largo de todo el curso 2020-21 para mis alumnos y alumnas de la asignatura de Matemáticas II de segundo de bachillerato.

La pandemia y las instalaciones de mi instituto nos obligaron a adoptar la mal llamada enseñanza semipresencial en 4º de ESO y bachillerato. Cada grupo de alumnos se dividía en dos partes y uno asistían a clases presenciales lunes, miércoles y viernes, en tanto que el otro lo hacía los martes y jueves. A la semana siguiente se cambiaba el orden de asistencia. 

Tras darle muchas vueltas y teniendo en cuenta las circunstancias especiales de Matemáticas II, temario muy extenso, prueba de acceso a la universidad y necesidad de acompañarlos el máximo tiempo posible, decidí grabar cada tarde la clase presencial que impartiría al día siguiente. De este modo todos avanzarían juntos. 

Sé que hay multitud de vídeos y recursos en Internet, pero la mayoría no se adaptaban plenamente a mi forma de explicar y, sobre todo, a los ejercicios propuestos en el libro de texto.

Me puse manos a la obra y día a día fui grabando los vídeos. No son vídeos profesionales, son lo más parecido a mis clases, con mis fallos y errores. Pero es que están creados para mis alumnos.

Terminado el temario quiero compartirlos por si pueden servir de ayuda a alguien, alumnos que se preparan la selectividad o profesores que quieren utilizarlos para enlazarlos.

Dejo aquí el enlace para acceder al conjunto de todos ellos: Matemáticas II en 100 vídeos.

Sumas y restas de fracciones, hasta el infinito y más allá

 En esta entrada de nuestro blog de aula puedes practicar las sumas y restas de fracciones con la ayuda de estas dos escenas de GeoGebra. Con ellas podrás comprobar si las vas haciendo bien, te darán un resultado correcto en el caso de te equivoques y obtendrás una puntuación final a tu trabajo.

Y no te distraemos más: sumas y restas fracciones sin parar, hasta el infinito y más allá.

¿Sabes lo que son los logaritmos?

¿Sabes lo que son los logaritmos? ¿Seguro? Te invitamos a que lo demuestres.

Te presentamos esta escena de GeoGebra donde puedes poner a prueba lo que sabes sobre la definición de logaritmo.

¡Buena suerte!

Cada raíz con su polinomio

Cada raíz con su polinomio, o cada oveja con su pareja. En eso consiste este pasatiempo matemático que te presentamos. 

En la imagen inferior puedes ver un plano de la ciudad matemática XYZ. Como es lógico, en esta ciudad las plazas tienen nombres relacionados con las matemáticas, en este caso, números y polinomios. Tu trabajo consiste en unir mediante líneas cada uno de los números con el polinomio del que es raíz, pero debes cumplir unas normas:

1. Las líneas tienen que pasar por las calles de la ciudad.
2. Las líneas no pueden atravesar las plazas donde están los números o polinomios.
3. No pueden coincidir dos líneas en la misma calle ni en un mismo cruce y, por consiguiente, dos líneas no pueden cruzarse.

Seguro que no te cuesta mucho trabajo encontrar las parejas de ovejas, es decir, las parejas de raíces y polinomios. Y tampoco te será muy difícil dibujar esos cinco caminos que no se pueden cruzar.

Cuando lo hayas hecho, manda una foto a tu profesor con tu trabajo.

Esta actividad es una adaptación de la que mis amigos de Alquerque presentan en su artículo "Gamificación en Matemáticas, ¿un nuevo enfoque o una nueva palabra?", en la revista Epsilon.

Nota: desde mis primeros años de docencia he incorporado el juego como recurso didáctico. Tuve la suerte de estar al lado de mi mujer, Pilar Pisón, que en los dos cursos que llevaba de profesora ya lo hacía y me mostró el camino. Posteriormente, en mi querido IES Macarena de Sevilla conocí a Pepe Muñoz, amigo y compañero del que tantas cosas he aprendido y que con su Grupo Alquerque llevaba años "jugando" en las clases de Matemáticas.

Ciclismo de altura, la derivada decide

- La serpiente multicolor se enfrenta hoy a una etapa desconocida. Sólo dos puertos, uno de ellos en la meta, a la que se llegará tras recorrer 166 kilómetros. Las piernas ya no están para muchos trotes después de dos semanas de carrera. ¿Será esta la etapa que decida la carrera, Perico?

- Parece que sí, Carlos, aunque todo depende de dónde se encuentren el primer puerto y el principio del segundo, y ahí decide la derivada.

- ¿La derivada, Perico?

- La derivada primera, sí. El que hoy tengamos ciclismos de altura depende de la derivada.

Pues ya ves, según nuestros comentaristas desplazados a la vuelta, Carlos de Andrés y Perico Delgado, de la derivada depende que en esta etapa haya ciclismo de altura.

Contesta a las preguntas que se plantean en la escena de GeoGebra y envía a tu profesor una captura de pantalla de dicha escena en donde se vea la expresión analítica y una foto con los cálculos que has realizado en tu cuaderno de trabajo.