BTO. Lecturas científicas: viva la diferencial

El desarrollo histórico de los descubrimientos científicos es un recurso didáctico muy valioso para el aprendizaje de las ciencias.

Conocer cómo evolucionaron las ideas, situarlas en su época, aproximarnos a las vidas de los personajes que trabajaron en ellas, permite un acercamiento más humano e interesante de los conceptos que son materia de estudio.

La escuela de Atenas, cuadro de Rafael expuesto en los Museos Vaticanos. Imagen de dominio público. 
En el rincón inferior derecho aparecen matemáticos griegos discutiendo un problema geométrico en una pizarra. 
Se cree que están representados Arquímedes, Euclides, Ptolomeo e Hipatia.

En la enseñanza de las matemáticas solemos presentar los conocimientos como objetos inanimados, sólidos, sin aristas. A pesar de que la historia nos demuestra que casi ninguna idea matemática surgió por generación espontánea.

Cuando estudiamos el cálculo en bachillerato siempre seguimos la misma secuencia: noción de función, tipo de funciones, límites, continuidad, derivadas e integral.

Pero, si uno estudia el proceso de creación de los conceptos anteriores podrá ver que en absoluto esta fue la evolución histórica. Utilizando términos bélicos podemos decir que se produjo una batalla en la creación y definición precisa de todos ellos. Una batalla que duró casi tres siglos y en la que participaron algunas de las mentes más brillantes que ha dado la humanidad.

Gran parte de la obra del matemático y divulgador de las ciencias Ian Stewart, está dedicada a mostrarnos el origen y los cambios en las creaciones científicas. En esta entrada vamos a fijarnos en su libro "De aquí al infinito", publicado por la editorial Crítica en su serie Drakontos.

En concreto, reproducimos dos páginas de dicho libro. En ellas se desarrolla un apartado de título "Viva la diferencial".

En primer lugar te pedimos que lo leas con detenimiento (haciendo clic sobre la imagen, se amplia la misma).

A continuación, debes contestar las siguientes preguntas.

• Representa en una línea del tiempo los matemáticos que aparecen nombrados en el apartado. En ella se deben ver los años en que vivieron y una breve reseña de cada uno de ellos: ciudad y país de nacimiento, aportaciones más importantes realizadas para el avance de las ciencias.
• Justifica con brevedad el motivo por el que el autor del libro los incluye en este apartado.
• ¿A qué llamaba Newton una fluxión, y un fluente?
• ¿Cómo se expresan en la actualidad las relaciones que existen entre le espacio, la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento?
• ¿Qué es una ecuación diferencial?
• ¿Cómo solía resolver Newton las ecuaciones diferenciales? ¿Y cómo lo hacía Leibniz?
• Las derivadas actuales, a quién crees que se aproximan más, a la idea de Newton o de Leibniz. ¿Por qué?
• Por último, en el texto hay un error en la expresión de la serie de potencias. ¿Sabrías decir cuál es?

Envía un correo a tu profesor con las respuesta a las preguntas anteriores.

Y, ya sabes: ¡viva la diferencial!, ¡vivan las matemáticas!

(Agradecemos a la editorial que haya dado su autorización para reproducir las fotos de las dos páginas que aparecen en la imagen).

ESO. Un clásico muy joven: "Jugando con potencias y raíces"

¿Un clásico muy joven? ¿A qué es debido este título?

El motivo viene dado porque recuperamos en esta entrada un artículo que se publicó en la revista de didáctica de las matemáticas Números, hace ahora veinte años.

El título de aquel artículo era "Jugando con potencias y raíces", y sus autores fuimos Virgina Carmona Soto, mi amigo José Muñoz Santonja y el responsable de este blog. 

Y aunque lo escribimos en el ya lejano 1998, muchas de las propuestas que se realizan en él son de la máxima actualidad.

Exponemos aquí algunas de las actividades que se presentan en el artículo.

Empezamos con tres dameros en los que se ponen en juego los producto y cocientes con potencias.

A continuación, veamos una propuesta similar a las anteriores, pero ahora con radicales.

Terminamos con una actividad en la que es necesario encontrar radicales semejantes.

Hemos presentado aquí juegos individuales, pero en el artículo hay dos para trabajarlos cooperativamente. Lo que ahora se llama con esa expresión que tan poco nos gusta: "gamificar".

También se incluye una actividad en la que aparece la notación científica en el contexto de una noticia de prensa. El objetivo es trabajar habilidades como la lectura comprensiva y el sentido numérico. Ambas capacidades muy relacionadas con las ahora llamadas competencias básicas.

Lo dicho, un clásico muy joven.

ESO. Notación científica

Números muy, muy grandes. O números muy, muy pequeños. Los avances científicos de los dos últimos siglos, la aparición de los microscopios y telescopios, crearon la necesidad de expresar magnitudes con muchas cifras.

La notación científica es la respuesta a la escritura y comprensión de este tipo de números.

En estos dos vídeos del canal de oYoutube del profesor Rafael Cabrera se nos explica con toda claridad cómo podemos escribir con corrección un número grande o pequeño en notación científica.

4º ESO. Récords de velocidad en la recta real.

Los aficionados al deporte recordamos los 100 metros lisos de Usain Bolt en los Mundiales de Berlín de 2009. Aquel día, el jamaicano dejó la marca mundial en 9,58 segundos.

¿Cuánto tiempo pasará hasta que se mejore esa marca? ¿Cuándo aparecerá otro Usain?

Hay algunos récord mundiales de carreras en pista al aire libre que ya tienen su antigüedad. Por ejemplo, el de 100 metros lisos de Florence Griffith Joyner conseguido en julio de 1988, ha cumplido treinta años.

De carreras en pista al aire libre y de récord va esta tarea.

Te pedimos que busques información sobre las marcas mundiales de las carreras en pista de atletismo. Las pruebas son 100, 200, 400, 1500, 5000 y 10000 metros lisos. Puedes realizar la búsqueda para pruebas femeninas o masculinas, las que prefieras.

Una vez que tengas estos datos, calcula de cada uno de ellos la velocidad media en kilómetros horas con la que se realizó la marca.

A continuación, sitúa los datos obtenidos en una recta real donde representarás las seis velocidades medias, indicando a qué prueba corresponden y el nombre del atleta que la realizó y la fecha.

Por último, escribe un comentario sobre cómo varían esas velocidades medias en función de la distancia de la prueba. ¿Crees que hay algún tipo de proporción o regla?

Nada más, corre y realiza la tarea. ¡Preparados, listo, ya!

ESO. Decimales: ¿Eres capaz de llegar a cuatro?

¿Con cuántos decimales? Es una pregunta muy común que hacéis los alumnos a los profesores cuando proponemos un problema o ejercicio en clase.

Salvo en caso excepcionales, las aulas de matemáticas son el único lugar donde se trabaja con más de tres decimales. En la vida diaria con dos decimales es suficiente.

Por ello, en esta primera entrada del curso 2018-19 te proponemos en principio un difícil reto, que busques en un medio de comunicación digital una noticia en la que bien en el titular o en el desarrollo de la misma aparezca escrito con todas sus cifras un número decimal con al menos cuatro decimales.

Aquí puedes ver un ejemplo del tipo de noticia que tienes que buscar, se publicó en el diario La Rioja en octubre de 2010.

En ella aparece el número 0,00000000005 que tiene 11 decimales. Es decir, un número muy, muy pequeño. Y además son miligramos, aún más pequeño. Y no es inocente que aparezca esa cantidad así escrita, pues el objetivo es minimizar la cantidad de sustancia prohibida que apareció en la sangre de Alberto Contador tras un control de dopaje. 

Cuando encuentres la noticia debes enviar un correo a tu profesor o profesora en el que tienes que incluir un enlace a ella,  escribir un breve resumen de la misma, cinco o seis líneas, e indicar el papel que juega el número decimal que aparece.

Recuerda, cuatro o más decimales. ¿Serás capaz de encontrarlo? Seguro que sí.

¡Buen principio de curso 2018-19!

PROYECTO. Gráficas eléctricas: consumo muy corriente

¿Somos conscientes de cómo dependen nuestras vidas de la energía eléctrica? ¿Conocemos la cantidad de energía que necesita un país cómo España para ponerse en marcha cada día?

Pensemos por un momento en la gran variedad de actividades diarias que son imposibles sin la ayuda de la electricidad. ¿Es larga la lista? Interminable.

Todo lo anterior justifica que exista un organismo cuyo objetivo sea el de asegurar el correcto funcionamiento del sistema eléctrico y garantizar en todo momento su continuidad y calidad. En España esa organismo es Red Eléctrica de España (REE).

Foto de Oscar F. Helvia con licencia CC

En nuestro proyecto de trabajo utilizaremos uno de los servicios que nos ofrece REE en su página de internet: la demanda y producción de energía eléctrica en tiempo real. En concreto, haremos uso de los gráficos de seguimiento de dicha demanda.

Nuestro interés se centrará en la demanda real de energía eléctrica, es decir, la gráfica de color amarillo de la imagen superior.

El reto que os proponemos es el siguiente: que elijas un día del mes próximo y que estudies cómo fue la gráfica y los valores de la demanda real de energía en ese día durante los últimos diez años, para así realizar una previsión de cómo va a ser la de este año.

Es un trabajo para realizar en grupos de tres o cuatro compañeros.

El trabajo debe incluir:

1. Diario de actuaciones, donde se describa cómo se va desarrollando el trabajo (10%).
2. Interés de las preguntas y dudas planteadas al profesor, encaminadas a la resolución del problema (10%).
3. Documento donde se especifiquen los datos tomados, cálculos realizados, tabla y gráfica con la demanda real de energía del día seleccionado, y la justificación  documentada de la previsión que se realiza  (60%).
4. Evaluación del proyecto, con indicación de lo que pensáis que habéis aprendido (10%).
5. Documento de texto o presentación en donde se recojan los  puntos anteriores (10%).

Este último documento o presentación es el producto final que debéis enviar por correo electrónico a vuestro profesor.

Todos estos puntos serán tenidos en cuenta a la hora de la evaluación de vuestro trabajo. Como se recoge en los criterios de evaluación, siempre que lo necesitéis podéis consultar vuestras dudas con el profesor a través del correo electrónico o directamente en clase, en las horas fijadas para ello.

ESO. Google Trends y el lenguaje gráfico de las funciones

La definición más breve de función matemática es considerarla como una relación entre dos variables. Es cierto que a esa relación hay que ponerle alguna condición más pero es una buena descripción para un primer contacto con este útil concepto matemático.

Hay cuatro formas de expresar una función: enunciado, tabla, gráfica y fórmula. Está claro que la más vistosa y popular es la representación gráfica, y a ella vamos a dedicar esta entrada de nuestro blog.

Como en otras ocasiones, y para que veamos su importancia, vamos a mostrar una idea matemática de manera aplicada. Usaremos una herramienta llamada Google Trend. Con ella podemos conocer cómo ha ido cambiando el número de búsquedas de cualquier término a lo largo de la historia del buscador.

Por ejemplo, nosotros hemos pedido que nos indique cómo ha evolucionado las búsqueda de "The Big Bang Theory", a nivel mundial.

Como se puede apreciar en la imagen anterior, Trends nos permite cambiar las características de la búsqueda, por ejemplo: la zona geográfica, el intervalo de tiempo o la categoría. Además, podemos compara dos o más términos de búsqueda.

Está claro que las dos variables que relaciona la gráfica de Trends son el tiempo y el volumen de búsquedas.

Es importante saber que la escala del eje de la Y, el de ordenadas, mide el volumen de búsqueda, asignando el valor 100 a la fecha en que dicho volumen fue más alto. Por tanto, es un dato relativo, no absoluto.

Como tarea te proponemos que realices una comparativa entre las búsquedas de dos términos diferentes. Lo más conveniente es que sean dos términos relacionados entre sí, por ejemplo; cantantes, grupos de música, series de televisión, deportistas, vídeo juegos, o cualquier otro tema que te interese.

Modifica las características de búsqueda como creas conveniente. Realiza una captura de pantalla, imprime la gráfica, y pégala en tu cuaderno de trabajo.

Escribe un comentario sobre las gráficas obtenidas en las que relaciones características de ellas (domino, intervalos de crecimiento o decrecimiento, máximos o mínimos), con la evolución  del interés en las búsquedas de los dos términos que has elegido.

Como podemos comprobar con esta herramienta que nos ofrece Google, las gráficas hablan por sí solas.

4º ESO, 1º BTO. Simulaciones de funciones definidas a trozos

En esta entrada presentamos dos escenas de GeoGebra en las que se simulan funciones definidas a trozos. El primer contacto con este tipo de funciones suele extrañar a los alumnos, ya que una primera mirada puede considerarlas como funciones poco "naturales".

Con estos dos ejemplos pretendemos un acercamiento amable y demostrar que no son funciones tan "raras", que aparecen en multitud de situaciones de la realidad.

La primera es un intento de modelizar numéricamente el funcionamiento de un semáforo.

La segunda demuestra que las funciones definidas a trozos están presentes en la realidad, por ejemplo, en cómo late nuestro corazón y la forma en que se propagan las señales eléctricas que genera.

Como actividad, te pedimos que escribas la expresión analítica de la función definida a trozos de la escena. Hay que tener en cuenta que al recargar la página, la función cambia.

Esperamos que estos ejemplos te hagan perder el miedo a las incomprendidas funciones definidas a trozos.