Sumas y restas de fracciones, hasta el infinito y más allá

 En esta entrada de nuestro blog de aula puedes practicar las sumas y restas de fracciones con la ayuda de estas dos escenas de GeoGebra. Con ellas podrás comprobar si las vas haciendo bien, te darán un resultado correcto en el caso de te equivoques y obtendrás una puntuación final a tu trabajo.

Y no te distraemos más: sumas y restas fracciones sin parar, hasta el infinito y más allá.

¿Sabes lo que son los logaritmos?

¿Sabes lo que son los logaritmos? ¿Seguro? Te invitamos a que lo demuestres.

Te presentamos esta escena de GeoGebra donde puedes poner a prueba lo que sabes sobre la definición de logaritmo.

¡Buena suerte!

Cada raíz con su polinomio

Cada raíz con su polinomio, o cada oveja con su pareja. En eso consiste este pasatiempo matemático que te presentamos. 

En la imagen inferior puedes ver un plano de la ciudad matemática XYZ. Como es lógico, en esta ciudad las plazas tienen nombres relacionados con las matemáticas, en este caso, números y polinomios. Tu trabajo consiste en unir mediante líneas cada uno de los números con el polinomio del que es raíz, pero debes cumplir unas normas:

1. Las líneas tienen que pasar por las calles de la ciudad.
2. Las líneas no pueden atravesar las plazas donde están los números o polinomios.
3. No pueden coincidir dos líneas en la misma calle ni en un mismo cruce y, por consiguiente, dos líneas no pueden cruzarse.

Seguro que no te cuesta mucho trabajo encontrar las parejas de ovejas, es decir, las parejas de raíces y polinomios. Y tampoco te será muy difícil dibujar esos cinco caminos que no se pueden cruzar.

Cuando lo hayas hecho, manda una foto a tu profesor con tu trabajo.

Esta actividad es una adaptación de la que mis amigos de Alquerque presentan en su artículo "Gamificación en Matemáticas, ¿un nuevo enfoque o una nueva palabra?", en la revista Epsilon.

Nota: desde mis primeros años de docencia he incorporado el juego como recurso didáctico. Tuve la suerte de estar al lado de mi mujer, Pilar Pisón, que en los dos cursos que llevaba de profesora ya lo hacía y me mostró el camino. Posteriormente, en mi querido IES Macarena de Sevilla conocí a Pepe Muñoz, amigo y compañero del que tantas cosas he aprendido y que con su Grupo Alquerque llevaba años "jugando" en las clases de Matemáticas.

Ciclismo de altura, la derivada decide

- La serpiente multicolor se enfrenta hoy a una etapa desconocida. Sólo dos puertos, uno de ellos en la meta, a la que se llegará tras recorrer 166 kilómetros. Las piernas ya no están para muchos trotes después de dos semanas de carrera. ¿Será esta la etapa que decida la carrera, Perico?

- Parece que sí, Carlos, aunque todo depende de dónde se encuentren el primer puerto y el principio del segundo, y ahí decide la derivada.

- ¿La derivada, Perico?

- La derivada primera, sí. El que hoy tengamos ciclismos de altura depende de la derivada.

Pues ya ves, según nuestros comentaristas desplazados a la vuelta, Carlos de Andrés y Perico Delgado, de la derivada depende que en esta etapa haya ciclismo de altura.

Contesta a las preguntas que se plantean en la escena de GeoGebra y envía a tu profesor una captura de pantalla de dicha escena en donde se vea la expresión analítica y una foto con los cálculos que has realizado en tu cuaderno de trabajo. 

Jugando con radicales: dibujo oculto

 Los clásicos siempre vuelven y los dibujos ocultos son un pasatiempo que aunque veterano no pasan de actualidad.

En nuestro blog de aula ya han aparecido tres dibujos ocultos o secretos: Operaciones con números enteros, Jugando con potencias y Primeros pasos con polinomios.

Os presentamos ahora uno dedicado a los radicales.

En la imagen hay doce expresiones radicales con sus puntos asociados. Al operar o simplificar cada una de ellas se obtienen números naturales.

Para descubrir el dibujo oculto tienes que unir mediante una línea todos ellos. Empieza por el punto que tiene asociado el número más pequeño y continúa en orden creciente. Antes de empezar, la mejor estrategia es que simplifiques lo máximo posible todos los radicales.

Cuando lo realices, verás que has triunfado. Mucho ánimo.

ESO. Un cubo que rueda, y rueda, y rueda...

Abrimos nuestro blog en este "extraño" curso 2020-21 con una entrada sencilla y muy visual.

Hace unos días, una cuenta de Twitter que sigo, @pickover, publicaba el siguiente vídeo.

Maybe maybe maybe from r/maybemaybemaybe

Al instante me quedé enganchado. Visualmente es muy atractivo, aunque cuando lo pensé más detenidamente caí en la cuenta de que un cubo no está preparado para rodar y rodar con cierta elegancia: ¡está lleno de aristas y ángulos rectos!

Como suele ocurrir, llevé el movimiento repetitivo del cubo a mi terreno: las matemáticas y su aplicación didáctica. Y me planteé varias cuestiones.

Dejo aquí dos.

Si la arista del primer cubo, el que empieza a rodar, mide 1 centímetro de lado, cuál será el volumen del tercer cubo. ¿Qué distancia en horizontal hay desde que el primer cubo comienza a rodar hasta que el tercer cubo llega al pie del cuarto?

Podemos generalizar, y preguntarnos por el volumen del cubo número n y la distancia hasta que el cubo n llega al pie del cubo n+1. 

Seguro que a vosotros se os ocurren más cuestiones interesantes.

Espero vuestras respuestas a las preguntas anteriores. Por supuesto, sobre todo me interesan los cálculos y razonamientos que habéis realizado para llegar a ellas.

Mucho ánimo a todos para este curso. Ya sabéis, al mal tiempo, buena cara. Así que hablando de girar, vamos a despedirnos con un poco de humor.

El universo mecánico

Tengo la osadía de tomar prestado el nombre de la famosa serie de vídeos científicos para titular esta entrada del blog: El Universo Mecánico.

El motivo no es otro que la magnífica secuencia de fotos publicadas en twitter por Raül Fernández.

Enlace a la imagen publicada en Twitter por @raulf

En ella se puede ver la salida del Sol en trece tomas realizadas a lo largo de un año, de diciembre a diciembre. El motivo de que sea la salida es porque, si miramos hacia el este, en diciembre es cuando el Sol sale más próximo al sur (más a la derecha), en tanto que en junio la salida es más cercana al norte (más a la izquierda).

En esos dos momentos se marcan, como indican las fotos, los solsticios de invierno y verano respectivamente. En tanto que en marzo y septiembre, cuando el Sol sale justamente en el punto medio de los extremos anteriores, se marcan los equinoccios de primavera y otoño.

Lo de universo mecánico viene muy al caso con esta secuencia de fotos, porque el movimiento del Sol es justamente el de un péndulo que oscila incansablemente de norte a sur y viceversa con el transcurso de los años. De hecho, el término solsticios viene del latín, "solstitium", que no quiere decir otra cosa que "sol quieto", que es el efecto que produce el péndulo cuando alcanza uno de los extremos en su oscilación, parece quedarse quieto por un instante.

Desde la antigüedad, la mayoría de las civilizaciones que basaron su calendario en los movimientos del Sol, fueron conscientes de este movimiento pendular. Y lo fueron por motivos prácticos, claro. Para saber, entre otras razones, cuándo tenían que llevar a cabo las distintas labores relacionadas con la agricultura. Por ejemplo, la siembra o la cosecha.

Observar, analizar, crear modelos y conjeturar. Rasgos propios del método científico.

Veamos la secuencia de fotos en horizontal.

Si unimos mentalmente los puntos que representan al Sol en el instante de salir podemos dibujar en nuestra mente una curva que en matemáticas se llama sinusoide.

En esta imagen podemos ver la sinusoide que corresponde a la gráfica de la función seno, f(x)=senx.

Haciendo algunos cambios, la curva anterior la podemos ir transformado hasta ajustarla a la curva imaginaria de nuestra secuencia.

La fórmula de dicha gráfica, lo que a los profesores de matemáticas nos gusta llamar la expresión analítica, aparece escrita debajo.

Muchísimos otros fenómenos de la naturaleza se adaptan a estas curvas, las horas de Sol al día, el coeficiente de las mareas, la luminosidad de la Luna... Y, claro, la luz, el sonido, cualquier otro tipo de ondas, no son más que un juego fantástico de senos y cosenos.

Lo que dijimos al principio, el universo mecánico.

¿Estás seguro de lo que ves? Anamorfismos

¿Estás seguro de lo que ves? ¿Te engaña la vista? Disfruta de estos dos vídeos y puede ser que cambies de opinión.

 

Los dos vídeos nos muestran ilusiones ópticas  muy elaboradas, con grandes medios tecnológicos y humanos, en las que entran en juego las matemáticas y las artes visuales.

Nosotros somos más humilde y vamos a realizar una ilusión óptica más sencilla y apoyada sobre todo en las matemáticas, vamos a hacer una anamorfosis.

Aquí te mostramos nuestro resultado y a continuación te explicaremos cómo lo hemos hecho, por si tú quieres llevarlo a cabo.


En primer lugar veamos con brevedad las matemáticas que ahí detrás. Hemos realizado una proyección desde un punto de un cuadrado sobre un plano. En la siguiente imagen, realizada con GeoGebra 3D, se puede ver mejor.

El punto desde el que se realiza la proyección es el negro, tiene de coordenadas: (-3, 0, 1.5). El cuadrado es el rojo, está situado en el plano YZ, sus vértices tienen coordenadas (0, -0.5, 0), (0, 0.5, 0), (0, 0.5, 1) y (0, -0.5, 1). La proyección del cuadrado se realizar sobre el plano XY y tiene como resultado el trapecio naranja, sus coordenadas son (0, -0.5, 0), (0, 0.5, 0), (6, 1.5, 0) y (6, -1.5, 0).

Traducido al mundo real, el observador del anamorfismo se sitúa a tres metros de la construcción y la mira aproximadamente a un metro y medio de altura. El cuadrado (imaginario), tiene un metro de lado y se encuentra al pie de la construcción que se realizará en el trapecio que tiene como dimensiones: un metro de base menor, tres metros de base mayor y seis de altura. Por lo tanto, para que todo salga bien necesitamos un espacio de al menos nueve metros de largo por tres de ancho.

A continuación, dividimos el cuadrado en una cuadrícula 8x8, lo que implica compartimentar el trapecio en una división proyectada similar. Veamos en esta otra imagen cómo queda.

Ahora sólo tenemos que representar en la cuadrícula del cuadrado el motivo o figura que deseamos representar y llevarla transformada a la división que hemos obtenido en el trapecio.

Aquí puedes ver el diseño de nuestro cubo en el cuadrado.

Y su transformada en el trapecio, que es el que tendremos que representar en el suelo.

Para facilitar tu trabajo te dejamos a continuación las plantillas del trapecio, el cubo y la silla.

En primer lugar, la plantilla de la retícula del trapecio, con su medidas en metros. En el metro de la base inferior tendremos que marcar siete puntos con esas distancias. En la base superior otros siete puntos con esas otras distancias. Y las distancias de la altura se refieren a eso, a la altura del trapecio, no a la longitud del lado.

Aquí tienes cómo quedaría la plantilla para dibujar el cubo.

Como puedes ver, se han numerado las marcas de los lados y las longitudes se han escrito en centímetros. Esto mejora el procedimiento de construcción. Insistimos, las longitudes de los lados se refieren a las marcas de la altura del trapecio, es decir del segmento central. Lo decimos porque el dibujo puede llevar a confusión.

Por último, dejamos la plantilla de la silla. Ahora sin numerar.

Para terminar, damos una consejos prácticos para hacer la construcción. Nuestra experiencia nos dice que lo mejor es utilizar cinta de carrocero tanto para construir el trapecio como la figura.

Nosotros empezamos representando la base menor, marcamos los puntos a la distancia indicada. Seguidamente representamos también con cinta carrocera la altura sobre el punto medio de la base. Marcamos los puntos con las distancias. Y a continuación construimos la base mayor con su marcas.

En la imagen superior se pueden ver los tres segmentos anteriores ya representados en el suelo.

A continuación, con un hilo fuerte señalados los dos lados laterales y en ellos vamos marcando con rotulador en el suelo los puntos correspondientes. Para ello es importante disponer de una escuadra o similar, ya que al unir los puntos que están a la misma altura de cada lado, el segmento debe ser perpendicular a la altura.

Marcados los lados y las bases, se colocan dos personas con un hilo tenso a cada lado de los lados y otras dos personas con otro hilo tenso a cada lado de las bases. El objetivo es ir marcando en el suelo los puntos de la construcción. Nosotros colocamos un trozo pequeño de cinta para señalar dichos puntos.

Una vez hecho esto, se construyen los segmentos que definen la figura.

Últimos consejos para que el anamorfismo quede bien. Las lineas más alejadas del observador se deben poner más gruesas, por ejemplo, la del respaldo superior de la silla tiene un ancho de tres cintas. Y en los segmentos que se alejan, también es conveniente ir ensanchando el grosor superponiendo cintas.

Cuando se termina, el observador se colocará a tres metros de la base del trapecio y, con un móvil se verá estupendamente el efecto. Con nuestra vista se aprecia mucho peor, ya que nuestra mirada tiene una visión panorámica al ser es con dos ojos, en tanto que el objetivo del móvil hace de foco único, el citado punto negro.

Te animo a construir tus anamorfismos. Seguro que te quedarán magníficos. Y si tenéis cualquier duda, no dudes en consultarme.

Representación gráfica de la media y la desviación típica

En la siguiente escena de GeoGebra se representan gráficamente la media y la desviación típica de una distribución estadística. Las frecuencias absolutas de los datos se pueden cambiar deslizando los puntos rojos situados en la parte superior de cada una de las barras del diagrama.

De forma automática, la media y el entorno de centro esa media y radio la desviación típica, se moverán ajustándose a los cambios que se hagan en las frecuencias absolutas.

El objeto de la escena es invitar a la reflexión sobre cómo influyen la variación de las frecuencias en la posición de estos parámetros estadísticos y en la amplitud del entorno por ellos definido, así como la proporción de datos que están dentro de este entorno.



Esperemos que trabajar con la escena sea utilidad a la hora de comprender el significado de la media y desviación típica de una distribución estadística.

¿Qué hacemos este 11 de febrero?

Sí, sí, está bien escrito. El 11 de febrero, no el 14, que está dedicado a otro asunto. Ahora no me acuerdo a cuál.

Quizás no sepas que el 11 de febrero está declarado por la ONU como el Día de la Mujer y la Niña en la Ciencia.  Y nosotros vamos a recordar esta fecha con la lectura de un cómic dedicado a la vida y obra de cinco mujeres científicas.

En este enlace puedes descargarte y ver el cómic que está publicado por la Unidad para la Igualdad de la Universidad de Sevilla.

En primer lugar, te invitamos a que disfrutes de su lectura con mucha atención y sin prisas. Léelo de pe a pa, mira quiénes son los autores, cómo se fue elaborando la idea y qué personas participaron en su creación.

A continuación, responde las siguientes cuestiones.

1. ¿Cómo surge la idea de hacer el cómic?
2. Elabora una línea del tiempo en la que aparezca cada una de las científicas del pasado de las que se habla en el cómic. Indica la fecha en que vivieron, el lugar dónde nacieron y en el que realizaron su carrera de investigadora.
3. Menciona de cada una de ellas alguna dificultad a la que tuvieron que enfrentarse para desarrollar su vida como científica. ¿Encuentras alguna relación entre estas adversidades? Si es así, indica cuál y explica qué opinas al respecto.
4. De cada científica, cita el trabajo o descubrimiento que más te ha gustado de ella.
5. ¿Cuál de ellas te ha caído mejor? Explica por qué.
6. Por último, escribe el nombre de las investigadoras de la universidad de Sevilla que representan en la obra de teatro a las científicas del pasado. Indican cuál es su formación y a qué se dedican en la actualidad.

Una vez contestadas las preguntas, envíaselas a tu profesor o profesora por correo electrónico en un documento de texto, o si prefieres, hazlo a mano y se lo entregas en clase.