MATEMÁTICAS Y FOTOGRAFÍA. Geometría cotidiana: un paseo fotográfico

En una anterior entrada "Fotografía y fracciones", ya presentamos una tarea que propusimos al alumnado de 3º de la ESO a principios de este curso 2016-17, cuando estábamos estudiando los contenidos relacionados con las fracciones.

Para cerrar el curso y ya que estamos estudiando el núcleo de contenidos de Geometría, hemos llevado a cabo una paseo fotográfico-geométrico por las calles cercanas al instituto.

Los alumnos iban con sus móviles y tenían que realizar fotografías en las que ellos descubrieran objetos geométrico que habíamos visto en clase: polígonos regulares e irregulares, mosaicos, círculos, movimientos en el plano, poliedros, o cualquier otro que ellos descubrieran. El paseo tuvo una duración de una hora.

A continuación, debían ver las imágenes tomadas, seleccionar tres o cuatro de ellas, editarlas, sobre todo en lo que se refiere a disminuir su tamaño y peso en bytes, y enviársela al profesor. En el correo donde adjuntaba las fotos tenían que incluir un comentario referido a por qué las había seleccionado y mencionar los objetos geométricos que ellos creían que aparecían en ellas.

Por último, el profesor seleccionaba una foto de cada alumno, y con todas ellas realizaba una presentación.

He aquí el resultado del trabajo.

En la presentación no hemos incluido los comentarios de los alumnos, con el objeto de que la persona que la vea sea la que busque los elementos geométricos que en cada una de las fotografías aparecen.

Incluimos aquí algunos de esos comentarios.

Tíscar Miura: "He hecho esta foto desde la ventana de mi habitación. Hay un motivo que se repite cuatro veces en diferentes posiciones, debido a que tiene simetrías. A esto se le llaman movimientos en el plano".

Alberto Estivill:"El motivo por el cual escogí esta foto (triángulo isósceles,acutángulo,invertido en las patas de una mesa) es muy sencillo. La foto fue tomada en el momento en el que junto con mi familia tapeaba en la Plaza del Pumarejo. En esos instantes se me ocurrió observar el mobiliario del bar al ser tan tradicional y sevillano. Rápidamente visualicé un triángulo entre las patas de dicha mesa".

Paula Marín: "Hice esa fotografía porque me subí en el ascensor del corte inglés y lo ví y dije uy mira que chulo, esto me sirve para el trabajo de las fotos de mates e hice la foto jajajajaja. Es un octógono".

María Moreno: "Me resulta muy curiosa la combinación de los paralelogramos en esta barandilla. Creo que es simple pero bonito y elegante".

Como se puede ver, hemos permitido que algunos alumnos hicieran fotos fuera del paseo. Así lo pidieron ellos. Incluso hay una foto de un viaje que realizó un alumno el verano pasado.

La evaluación de la actividad la hemos realizado con una rúbrica sencilla. Por hacer las fotos, editarlas y enviarlas se obtenían ya el 40% de la nota total, he puntuado con un 10% la calidad artística de las fotos, otro 10% para la originalidad, un 20% para la relevancia de los objetos matemáticos que aparecían en las imágenes, y por último un 20% por los comentarios.

De los cincuenta alumnos, sólo treinta y cuatro enviaron imágenes. Y de los que las enviaron, veinticinco hicieron el comentario.

El objeto de la actividad era trabajar las diferentes competencias, tanto la matemática como la artística, la iniciativa personal, uso de las nuevas tecnologías y de expresión y comunicación.

Además, este tipo de actividad facilita hacer evidentes las matemáticas que hay en nuestro entorno. En este caso, observar cómo los elementos geométricos son esenciales en el diseño de los objetos decorativos y en el mobiliario urbano de nuestro entorno. 

Por otro lado, al profesor le permite observar y evaluar las diferentes competencias que ponen en acción el alumno en el desarrollo de ellas.

ESO. ¿Qué no hubiera hecho Thales con un teléfono móvil?

Thales de Mileto es considerado el primero de los Siete Sabios de Grecia, famoso grupo de ancianos a los que los antiguos helenos respetaban por su sabiduría.

Además de su conocido teorema, a Thales se le atribuye entre otros éxitos calcular la altura de la pirámide de Keops.

Imagen bajo licencia CC

Si no recuerdas qué dice el famoso Teorema de Thales, busca información sobre él en tu libro de texto o en internet. Infórmate también sobre qué quiere decir que dos triángulos estén en posición Thales.

Por ejemplo, en la imagen superior, los triángulos OAA' y OBB' se encuentran en posición Thales, ya que tienen un ángulo común (el del vértice O) y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos (AA' y BB').

Vas a utilizar todo lo anterior para calcular la longitud de una altura inaccesible. Eso sí, necesitas un móvil, una cinta métrica y una regla.

En la siguiente imagen te explicamos con más detenimiento cómo puedes hacerlo.

Tu objetivo es hallar la altura de la habitación (AC). Con una cinta métrica mide una altura accesible, por ejemplo la distancia a la que se encuentra el cuadro del suelo (AB). Haz una foto con el móvil teniendo en cuenta que debes colocarlo paralelo a la pared. Para esto último te puede ayudar un compañero.

Mide con una regla la imagen en el móvil de tu foto. Es decir, la distancia a la que se encuentra el cuadro del suelo (A'B') y la altura de la habitación (A'C'). 

Ahora aplica el Teorema ya que los triángulos OAC y OA'C' se encuentra en posición Thales. Con este procedimiento puedes calcular la altura de la habitación, o cualquier otra distancia inalcanzable.

Por eso, ahora te pedimos que utilizando una técnica similar a la anterior halles la altura de tu aula y de la pared del patio de tu instituto. Por supuesto, tendrás que acompañar tus mediciones y cálculos con un croquis donde expliques todo los que estás haciendo. Es preferible que hagas todo el trabajo en grupo de dos o tres compañeros. Eso sí, las explicaciones tienes que hacerlas de forma individual en tu cuaderno de trabajo. Por último, compara con otros grupos de compañeros si el resultado es similar, y analiza el por qué de las posibles diferencias.

Para terminar, volvemos a la pregunta inicial: ¿qué no hubiera hecho Thales con un móvil?

(Comentario didáctico: evidentemente, la idea de esta actividad es utilizar el Teorema de Thales en una situación cercana a los alumnos. El objetivo es que el aprendizaje sea práctico y no solo memorístico. En el desarrollo de la actividad se ponen en juego habilidades de todo tipo, no sólo matemáticas. Aprender a aprender, iniciativa personal son dos de las competencias que se intenta desarrollar con esta tarea, además de aspectos relacionados con la tecnológica y comunicación. Desde luego, es una buena oportunidad para evaluar las competencias claves de nuestro alumnado).

ESO. Mosaicos regulares y semirregulares

El diccionario de la RAE, define mosaico como una obra de piedras o vidrios, generalmente de varios colores. Casi seguro que esa palabra nos trae a la mente un mosaico romano o uno de la Alhambra o el Alcázar de Sevilla.

Esta segunda imagen nos lleva hacia los mosaicos que nos van a interesar a nosotros, los matemáticos. En concreto, los formados por polígonos regulares.

Nuestros amigos del Grupo Alquerque de Sevilla nos echan una mano para saber qué son tanto los mosaicos regulares como los semirregulares uniformes.

Accede a estos dos últimos enlaces y construye con la ayuda de la escena de GeoGebra que aparece más abajo, todos los mosaicos regulares y tres semirregulares uniformes.

Por último, y utilizando esta plantilla, dibuja en tu cuaderno de trabajo todos los mosaicos que has construido con la escena de GeoGebra. Añade en algún vértice de cada uno de estos mosaicos la amplitud de los ángulos de los polígonos que coinciden en él.

Observa con atención qué ocurre con estos ángulos, qué propiedad cumplen. Esto te ayudará a contestar la siguientes cuestiones:

1. ¿Por qué sólo se pueden construir tres mosaicos regulares?
2. ¿Qué tienen que cumplir los polígonos que aparecen en un mosaico semirregular uniforme?

PROYECTO. Buscando un modelo para las fases de de la Luna

El último proyecto de este curso lo vamos a dedicar a las fases de iluminación de la Luna. Para entrar en el tema contempla el siguiente vídeo donde se explica con claridad y sencillez cuál es el motivo de las diferentes formas que adopta la porción de Luna que es visible desde la Tierra.

El objetivo del proyecto es muy fácil de explicar, tenéis que conseguir la expresión analítica de una función que modelice el porcentaje de iluminación de la Luna a lo largo de los días.

Para ello, lo primero que tenéis que encontrar es una página web donde se exprese cómo varía dicha iluminación diariamente.

A continuación, tenéis que construir una hoja de cálculo con esa información. El primer dato, el número 1 debe corresponder al día en que iniciáis el proyecto. Después tenéis que añadir 90 datos más, correspondientes a los 90 días posteriores a ese primer día.

Con esa hoja de cálculo debéis elaborar una gráfica que os ayudará a entender el tipo de función que tenéis que buscar.

Por último, tenéis que hacer los ajustes necesarios para que la función buscada se ajuste lo máximo posible a cómo varía diariamente la iluminación. Es decir f(1) se tiene que parecer a la iluminación del primer día, el que empezáis el trabajo. Y, por ejemplo, f(20) se tiene que aproximar a la iluminación de la Luna, pasadas 19 jornadas de ese primer día.

Vuestro trabajo tiene que incluir:

1. Guión temporalizado de los pasos que pensáis dar (5%).
2. Diario de actuaciones, donde se recoja cómo se va desarrollando el trabajo (20%).
3. Dirección de internet en donde habéis buscados los datos, la hoja de cálculo con la gráfica (15%).
4. La expresión analítica de la función buscada. Un gráfico donde se compare las gráficas de la función y de los datos de la hoja de cálculo. (40%).
5. Evaluación del proyecto, con indicación de lo que pensáis que habéis aprendido (10%).
6. Documento de texto o presentación en donde se recojan los aspectos anteriores (10%).

Todos estos puntos serán tenidos en cuenta a la hora de la evaluación de vuestro trabajo. Siempre que lo necesitéis podéis consultar vuestras dudas con el profesor a través del correo electrónico o directamente en clase, en las horas fijadas para ello.

Despedimos esta propuesta de trabajo con una canción de los años 80 del siglo pasado que hace referencia a la sombra de la Luna. A ver si esto os anima un poco, que sé que estáis un poco estresados.

(Comentario didáctico: en esta entrada se presenta un proyecto de trabajo en el que se intenta que el alumnado ponga en juego la mayoría de las competencias claves: lingüística, matemática, científica y tecnológica, digital, aprender a aprender, iniciativa y espíritu emprendedor, así como actitudes para el trabajo colaborativo. Creemos necesario que la calificación de este trabajo implique un porcentaje significativo en la evaluación global del alumno).

BTO, ESO. Construcción de una elipse con GeoGebra

Sabemos que una elipse se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos (F₁ y F₂), es constante (k, constante de la elipse).

Teniendo en cuenta esta definición, vamos a construir con GeoGebra una elipse.

En primer lugar fijamos los dos focos F₁ ( -3, 0) y F₂ ( 3, 0). A continuación, y teniendo en cuenta que la constante k siempre tiene que ser mayor a la distancia entre los focos, definimos k = 10.

Ahora creamos un deslizador de nombre r, valor mínimo 0, máximo k, incremento 0.01 y velocidad 0.5. Definimos una variable s = k - r.

Seguidamente, definimos una circunferencia de centro F₁ y radio r, y otra de centro F₂ y radio s. Movemos el deslizador r hasta que las dos circunferencias se corten. Con la herramienta “Intersección”, cortamos estas dos circunferencias.

En propiedades de las dos circunferencias elegimos que no se muestren, y en las  de los dos puntos de intersección seleccionamos que no aparezca la etiqueta, se muestre el rastro, color rojo y tamaño de punto 2.

Definimos dos segmentos, cada uno de ellos con origen en los focos y de extremo en uno de los puntos intersección de las dos circunferencias. En las propiedades de estos segmentos escogemos que se muestre su “valor”, es decir, la longitud de cada uno de ellos.

• ¿Cuánto vale la suma de estas longitudes? ¿Por qué? Reflexiona sobre estas dos preguntas.

En las propiedades de “Vista gráfica”, elige que no se muestren los ejes ni la cuadrícula. Y en las propiedades del deslizador r escoge “Animación”.

• ¿Qué ocurre? ¿Qué figura aparece?

• Ahora es el momento de que manipules los diferentes elementos de la elipse, los focos y la constante k, para analizar cómo influyen en la silueta de la cónica, sobre todo en su excentricidad.

Recuerda que siempre puedes borrar los rastros seleccionando “Vista” y “Actualiza las vistas (limpia rastros)” o haciendo “Ctrl+F”.

• Para terminar, y siguiendo un proceso similar al que hemos hecho, construye una parábola y una hipérbola.

Te dejamos aquí dos escenas de GeoGebra con las construcciones de una elipse y una hipérbola.

ESO. Sistemas de ecuaciones: la diagonal

Como ya hemos hecho en otras entradas de este blog, recurrimos a la página de la profesora Ana García Azcárate para proponeros una actividad algo distinta de las que aparecen en los libros de texto.

En esta ecuación, y para reforzar el concepto de sistema de ecuaciones con varias incógnitas, os proponemos un pasatiempo clásico que Ana García nos presenta con el título de "Sistemas de ecuaciones: la diagonal".

El acertijo consiste en averiguar los valores de las vocales que se encuentran en un rectángulo, sabiendo que las soluciones son las cifras que aparecen en la diagonal y que la suma de todas las filas es la misma y coincide justamente con el valor que se obtiene al sumar esos números de la diagonal.

Os proponemos aquí cuatro rectángulos distintos, debéis elegir dos, copiarlos y resolverlos en vuestro cuaderno de trabajo. Recordad que no sólo tenéis que decir la solución, además tenéis que explicar los pasos que habéis dado para llegar a ella.

 Rectángulo 1

 Rectángulo 2

 Rectángulo 3

Rectángulo 4

Con ganas e imaginación seguro que no os será muy complicado resolver estos pasatiempos.

MATEMÁTICAS Y CINE: Figuras ocultas

El cine como recurso didáctico en las clases de matemáticas es un medio muy eficaz y atractivo para mostrar la utilidad y vigencia de esta vieja rama del saber, normalmente poco utilizado por el profesorado.

La Real Sociedad Matemática Española, en su estupendo portal de divulgación DivulgaMat, dispone de una sección dedicada a cine y matemáticas donde el profesor Alfonso Jesús Población publica reseñas de películas, libros o artículos relativos a este tema. Él es el autor del libro Las matemáticas en el cine, obra imprescindible para adentrarse en la relación entre el séptimo arte y las matemáticas.

Nuestro querido amigo Pepe Muñoz, publicaba en el blog Algo más que números una entrada en la que escribe del cine como recurso didáctico. En ella, con su habitual espontaneidad y de forma amena nos informa de la iniciativa llevada a cabo por la Comunidad Valenciana de crear un proyecto llamado Matemáticas de Cine, en donde se elaborarán materiales didácticos orientados a facilitar el aprendizaje de las matemáticas con el apoyo de escenas de películas y dibujos animados.

Nosotros, de forma más humilde, pero con la misma intención, hemos asistido con los alumnos de la tutoría de primero de bachillerato de ciencias y tecnología a la proyección de la  recientemente estrenada "Figuras ocultas".

Aunque para algunos compañeros y compañeras de profesión este tipo de salidas es una pérdida de tiempo, con la de contenidos que tenemos que explicar, consideramos que es una actividad de un gran valor pedagógico, muy necesaria y recomendable.

Y no hablo sólo de las competencias y los contenidos relacionados con el aprendizaje de las matemáticas o las ciencias, nos referimos también a conocer a los alumnos fuera del aula y del edificio del centro, estamos hablando de cómo se relacionan entre ellos. Es una buena forma de detectar alumnos que puedan estar aislados del resto de compañeros y malas relaciones entre ellos, o comprobar, como nos ocurrió a nosotros la solidaridad de los chicos, en este caso, de las chicas que llevaron el carrito de ruedas de un compañero que esta lesionado y no podía andar. Y fue un trayecto de más de media hora por el centro de la ciudad.

Además, esta película, desde el punto de vista social y humano nos cuenta una historia real de desigualdades, discriminación, superación personal y colectiva, así como, ya teniendo en cuenta la parte más científica, nos presenta cómo se avanza en la ciencia, cómo colaboran esta y la tecnología, o cómo el fracaso puede ser un peldaño importante hacia el éxito.

En definitiva, es una obra muy rica que invita a utilizarla desde muy diversas materias: matemáticas, física, tecnología, ética, filosofía, inglés, plástica...

Nuestros alumnos disfrutaron mucho con su proyección, salieron con caras de satisfacción. Ya veremos qué caras ponen cuando el próximo día tengan que realizar la siguiente encuesta.

Cuestionario sobre el visionado de la película "Figuras ocultas".

1. ¿En qué época transcurre la acción de la película? ¿En qué país?
2. Escribe un breve resumen de no más de cinco líneas de la película.
3. ¿Crees que la película es una denuncia sobre algunas discriminaciones? ¿Cuáles son? ¿Crees que ya están superadas esas situaciones?
4. ¿La recomendarías a un amigo? En el caso de que sí la recomendaras, justifica con brevedad el motivo.
5. Explica qué trabajo realiza cada una de las tres protagonistas.
6. ¿Recuerdas el problema que resuelve la chica en la pizarra al principio de la película? Sobre qué trataba.
7. ¿Para qué trabajo contratan a esta chica cuando trabaja en la NASA? Crees que en la actualidad es necesario ese tipo de labor.
8. El personaje que protagoniza Kevin Costner, le pregunta a la mujer de color cuando llega a su oficina si ella conoce cierta rama de las matemáticas, ¿te acuerdas de cuál es?
9. En la película se habla del punto de "pasa no pasa", a qué se refieren. ¿Qué puede ocurrir si hay un problema en ese punto?
10. De qué dos curvas se hablan cuando se plantea el problema de poner en órbita y el retorno de la nave espacial.
11. ¿Qué papel juegan las matemáticas en los acontecimientos que ocurren en la película? ¿Y la tecnología?
12. Una última pregunta, ¿hay algo que no te gustó de la película? En ese caso, explica por qué.

(Comentario didáctico: como ya se ha comentado más arriba, en una salida de este tipo se pretende, en primer lugar, desarrollar actitudes relacionadas con la convivencia entre compañeros y con el profesorado. Por otro lado, y debido al contenido de esta película, se abordan todas las competencias claves: comunicación lingüística, matemática, ciencia y tecnología, digital, aprender a aprender, social y cívica, iniciativa y espíritu emprendedor, conciencia y expresión cultural. Lo dicho, no puede ser una película más completa desde el punto de vista educativo y formador).

PROYECTO. Se hace camino al utilizar GeoGebra

En el segundo proyecto de trabajo de este curso vamos a utilizar GeoGebra como herramienta para crear escenas en la que el movimiento sea el protagonista.

Y cuando decimos movimiento nos referimos a la simulación de desplazamientos de animales o el funcionamiento de robots o maquinaria.

Mostramos dos escenas que podéis utilizar como ejemplos o guía para que vuestra imaginación se ponga en acción.

Como se puede ver, el primero intenta representar el vuelo de un ave, en tanto que el segundo aparenta ser la oscilación de la puerta basculante de un garaje.

Al igual que en el anterior proyecto, el trabajo lo realizarás en grupo formado por tres o cuatro compañeros. Es necesario que elijáis un portavoz que será la persona que estará en contacto con el profesor o profesora a la hora de consultar dudas o cualquier otro tipo de preguntas.

El trabajo debe incluir:

1. Guión temporalizado de los pasos que pensáis dar (5%).
2. Diario de actuaciones, donde se recoja cómo se va desarrollando el trabajo (20%).
3. Listado de instrucciones y comandos de GeoGebra que habéis utilizado (20%).
4. Archivo de GeoGebra con la escena que simula el movimiento. Se valorará la originalidad del objeto que realiza el movimiento (35%).
5. Evaluación del proyecto, con indicación de lo que pensáis que habéis aprendido (10%).
6. Documento de texto o presentación en donde se recojan los aspectos anteriores (10%).

Todos estos puntos serán tenidos en cuenta a la hora de la evaluación de vuestro trabajo. Siempre que lo necesitéis podéis consultar vuestras dudas con el profesor a través del correo electrónico o directamente en clase, en las horas fijadas para ello.

Mucha suerte y como dijo el poeta: "caminante no hay camino, se hace camino al andar". En este caso con GeoGebra.

(Comentario didáctico: en esta entrada se presenta un proyecto de trabajo en el que se intenta que el alumnado ponga en juego la mayoría de las competencias claves: lingüística, matemática, científica y tecnológica, digital, aprender a aprender, iniciativa y espíritu emprendedor, así como actitudes para el trabajo colaborativo. Creemos necesario que la calificación de este trabajo implique un porcentaje significativo en la evaluación global del alumno).