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7 de abril de 2019

4º ESO. Puzzle de ecuaciones de la recta en el plano

En la enseñanza secundaria, llamamos geometría analítica al estudio con coordenadas y ecuaciones de los elementos geométricos tanto del plano como del espacio, y de las relaciones que se existen entre ellos.

En ocasiones, notación y fórmulas impiden  reconocer el origen geométrico de los objetos que son motivo de análisis.

Por ejemplo, en el estudio de la recta en plano, siendo importantes las diferentes ecuaciones con las que se expresa, es mucho más significativo reconocer e interpretar los elementos geométricos que la definen.

Ese es el objetivo que persigue la actividad que te proponemos en esta entrada del blog.

Instrucciones:

El puzle consta de nueve piezas. En cada una de ellas hay escrita cuatro características que corresponden a otras tantas rectas. Estas características son: ecuación general, ecuación explícita, un vector director (u), un vector normal (n), la pendiente (m), o dos puntos P y Q contenidos en la recta.


Recorta las nueve piezas con cuidado. A continuación, vuelve a montarlo de tal forma que las características adyacentes de dos piezas que se toquen sean de la misma recta. Esto se debe cumplir para los cuatro lados: izquierdo, derecho, superior e inferior.

El puzle es conveniente que lo resuelvas en pareja, para así confrontar y discutir las posibles opciones para montarlo.

Una vez hecho el puzle y comprobada la solución, pégalo en tu cuaderno. Además, completa la siguiente tabla con las seis rectas cuyos elementos aparecen al menos en cuatro piezas.

28 de marzo de 2019

ESO, BTO. Operaciones básicas con vectores

Esta entrada de nuestro blog está dedicada a las operaciones básicas con vectores: suma, vector opuesto, producto por un escalar, combinación lineal.

Para entender con más facilidad lo que implica cada una de las acciones anteriores, te presentamos la siguiente escena de GeoGebra.

En ella hay dos vectores, u y v que se pueden mover y modificar. También aparecen cuatro casillas de verificación. Al hacer clic sobre cada una de ellas aparecerá representada la operación indicada: suma de u y v, opuesto de u, multiplicación de u por un número r, y combinaciones lineales de u y v, que vendrán dadas por los valores que asignemos a r y s en los deslizadores de la izquierda.


El objetivo es que trabajes con ella y de esa forma conozcas mejor lo que significan cada una de las operaciones que se presentan.

7 de marzo de 2019

ESO. Mosaico nazarí de la Alhambra con GeoGebra: el avión

La Alhambra de Granada es el monumento andaluz más visitado. Este conjunto arquitectónico esconde gran variedad de tesoros artísticos, nosotros vamos a poner nuestra atención en los azulejos que adornan las paredes de  sus palacios y patios.

En concreto, pondremos nuestra atención en uno conocido como el "avión" o la "flecha".

Imagen descarga de la página Geometría Dinámica de José Antonio Mora

Vamos a desarrollar su construcción con GeoGebra y para simplificarla, rectificaremos sus lados.

En este vídeo puedes seguir paso a paso cómo se genera.


Una vez que hayas dibujado el mosaico, tienes que determinar en él los cuatro movimientos que hemos explicado en clase: traslación por un vector, rotación, simetría central y simetría por un eje.

Para cada uno de ellos tienes que señalar la pieza inicial y la resultante del movimiento, y los elementos que interviene en cada uno de ellos, es decir:
  1. Traslación: indicar el vector que realiza el desplazamiento.
  2. Rotación: mostrar el centro de giro y decir el ángulo girado.
  3. Simetría central: señalar el punto respecto el que se hace la simetría.
  4. Simetría axial: representar la recta que realiza este movimiento.


25 de febrero de 2018

PROYECTO. Torre del Oro, un monumento con mucha(s) cara(s)

Este blog se escribe desde Sevilla, ciudad del sur de España. Capital andaluza con una larga historia que siempre ha estado unida a del río que la cruza, el Guadalquivir.


Uno de sus monumentos más conocidos es la Torre del Oro. Este torreón se encuentra ubicado en la orilla del río y hasta mediados del siglo pasado atracaban a sus pies los barcos que bajaban hacia la desembocadura, en Sanlúcar de Barrameda.

Esta famosa torre va a ser la protagonista de nuestro proyecto de trabajo. El problema que tenéis que resolver es muy fácil de explicar: ¿cuántas caras se ve de ella en función de donde nos situemos a contemplarla?

Por ejemplo, en la fotografía anterior se pueden ver cinco caras. En la siguiente secuencia de imágenes podemos observar cómo el número de caras visibles va cambiando.





Imágenes de elaboración propia


¿De qué depende el hecho de que sean visibles más o menos caras? Esa es la cuestión a resolver. Y la trigonometría básica permiten dar una respuesta exacta a esa pregunta.

Es un trabajo para realizar en grupos de tres o cuatro compañeros.

El trabajo debe incluir:
  1. Diario de actuaciones, donde se describa cómo se va desarrollando el trabajo (10%).
  2. Interés de las preguntas y dudas planteadas al profesor, encaminadas a la resolución del problema (20%).
  3. Documento donde se especifiquen las medidas tomadas, cálculos realizados, dibujos o croquis explicativos, y la solución precisa, así como cualquier otra acción que hayáis realizado (50%).
  4. Evaluación del proyecto, con indicación de lo que pensáis que habéis aprendido (10%).
  5. Documento de texto o presentación en donde se recojan los tres puntos anteriores (10%).
Este último documento o presentación es el producto final que debéis enviar por correo electrónico a vuestro profesor.

Todos estos puntos serán tenidos en cuenta a la hora de la evaluación de vuestro trabajo. Como se recoge en los criterios de evaluación, siempre que lo necesitéis podéis consultar vuestras dudas con el profesor a través del correo electrónico o directamente en clase, en las horas fijadas para ello.

Por último, aquí os dejamos una escena de GeoGebra que os puede ayudar a entender, analizar y resolver vuestro trabajo.


(Comentario didáctico: en esta entrada se presenta un proyecto de trabajo en el que se intenta que el alumnado ponga en juego la mayoría de las competencias claves: comunicación, matemática, científica y tecnológica, digital, aprender a aprender, iniciativa y espíritu emprendedor, así como actitudes para el trabajo colaborativo. Creemos necesario que la calificación de este trabajo implique un porcentaje significativo en la evaluación global del alumno).

18 de diciembre de 2017

FELIZ NAVIDAD: felicitaciones fractales

Como en años anteriores os deseamos desde SALAXYZ una Feliz Navidad, y como en otras ocasiones queremos que las matemáticas tengan su protagonismo en dichas felicitaciones.

Al igual que el turrón, los fractales vuelven a casa por Navidad.

Hasta hace unos años se acostumbraba a felicitar estas fiestas con una tarjeta navideña, y eso es lo que vamos a proponer que hagáis, una tarjeta donde los fractales hagan acto de presencia.

En el siguiente vídeo puedes ver cómo se construye nuestra tarjeta. En él se explican los pasos que tienes que ir dando. Las explicaciones son en inglés, pero se entienden con facilidad.


En estas imágenes podemos ver el resultado de los tres primeros pasos que se indican en el vídeo.




Nuestro objetivo es llegar al tercer paso, este será el que nos sirva como tarjeta de felicitación navideña. Como se puede observar en las fotos, por detrás de cada construcción hemos pegado una cartulina, en este caso de color rojo. 

Dejamos en tus manos los colores a elegir, así como la decoración que quieras darle.

Este es un blog de matemáticas escolares y por tanto no podemos dejar de mencionar alguno de los contenidos que se pueden trabajar con las sucesivas iteraciones.

En primer lugar resaltar su estructura fractal, es decir, ver cómo en cada paso se repite el modelo del primer módulo: construir un prisma recto de base rectangular en el diedro determinado por los planos que se forman al doblar el folio. 

Las potencias aparecen al preguntarnos sobre cuántos prismas aparecen en cada nuevo paso, y cuántos hay en total. O cuál es el volumen de cada uno de esos diedros y la suma de todos ellos.

Las fracciones, sucesiones y límites también hacen su aparición cuando nos interrogamos sobre la altura que va alcanzando la estructura fractal si la comparamos con la altura del folio sobre el que se apoyan. O si nos planteamos la superficie de papel que se va "separando" de ese folio de apoyo.

En algunas de las cuestiones planteadas hace su aparición el concepto de límite y aunque parezca prematuro trabajarlo en secundaria, el hacerlo de una forma manipulativa, visual e intuitiva, puede ayudar a una formalización necesaria en cursos posteriores.

Para terminar, repetimos nuestra felicitación y dejamos aquí nuestro particular árbol de Navidad fractal.





8 de junio de 2017

MATEMÁTICAS Y FOTOGRAFÍA. Geometría cotidiana: un paseo fotográfico

En una anterior entrada "Fotografía y fracciones", ya presentamos una tarea que propusimos al alumnado de 3º de la ESO a principios de este curso 2016-17, cuando estábamos estudiando los contenidos relacionados con las fracciones.

Para cerrar el curso y ya que estamos estudiando el núcleo de contenidos de Geometría, hemos llevado a cabo una paseo fotográfico-geométrico por las calles cercanas al instituto.

Los alumnos iban con sus móviles y tenían que realizar fotografías en las que ellos descubrieran objetos geométrico que habíamos visto en clase: polígonos regulares e irregulares, mosaicos, círculos, movimientos en el plano, poliedros, o cualquier otro que ellos descubrieran. El paseo tuvo una duración de una hora.

A continuación, debían ver las imágenes tomadas, seleccionar tres o cuatro de ellas, editarlas, sobre todo en lo que se refiere a disminuir su tamaño y peso en bytes, y enviársela al profesor. En el correo donde adjuntaba las fotos tenían que incluir un comentario referido a por qué las había seleccionado y mencionar los objetos geométricos que ellos creían que aparecían en ellas.

Por último, el profesor seleccionaba una foto de cada alumno, y con todas ellas realizaba una presentación.

He aquí el resultado del trabajo.


En la presentación no hemos incluido los comentarios de los alumnos, con el objeto de que la persona que la vea sea la que busque los elementos geométricos que en cada una de las fotografías aparecen.

Incluimos aquí algunos de esos comentarios.

Tíscar Miura: "He hecho esta foto desde la ventana de mi habitación. Hay un motivo que se repite cuatro veces en diferentes posiciones, debido a que tiene simetrías. A esto se le llaman movimientos en el plano".

Alberto Estivill:"El motivo por el cual escogí esta foto (triángulo isósceles,acutángulo,invertido en las patas de una mesa) es muy sencillo. La foto fue tomada en el momento en el que junto con mi familia tapeaba en la Plaza del Pumarejo. En esos instantes se me ocurrió observar el mobiliario del bar al ser tan tradicional y sevillano. Rápidamente visualicé un triángulo entre las patas de dicha mesa".


Paula Marín: "Hice esa fotografía porque me subí en el ascensor del corte inglés y lo ví y dije uy mira que chulo, esto me sirve para el trabajo de las fotos de mates e hice la foto jajajajaja. Es un octógono".

María Moreno: "Me resulta muy curiosa la combinación de los paralelogramos en esta barandilla. Creo que es simple pero bonito y elegante".

Como se puede ver, hemos permitido que algunos alumnos hicieran fotos fuera del paseo. Así lo pidieron ellos. Incluso hay una foto de un viaje que realizó un alumno el verano pasado.

La evaluación de la actividad la hemos realizado con una rúbrica sencilla. Por hacer las fotos, editarlas y enviarlas se obtenían ya el 40% de la nota total, he puntuado con un 10% la calidad artística de las fotos, otro 10% para la originalidad, un 20% para la relevancia de los objetos matemáticos que aparecían en las imágenes, y por último un 20% por los comentarios.

De los cincuenta alumnos, sólo treinta y cuatro enviaron imágenes. Y de los que las enviaron, veinticinco hicieron el comentario.

El objeto de la actividad era trabajar las diferentes competencias, tanto la matemática como la artística, la iniciativa personal, uso de las nuevas tecnologías y de expresión y comunicación.

Además, este tipo de actividad facilita hacer evidentes las matemáticas que hay en nuestro entorno. En este caso, observar cómo los elementos geométricos son esenciales en el diseño de los objetos decorativos y en el mobiliario urbano de nuestro entorno. 

Por otro lado, al profesor le permite observar y evaluar las diferentes competencias que ponen en acción el alumno en el desarrollo de ellas.


28 de mayo de 2017

ESO. ¿Qué no hubiera hecho Thales con un teléfono móvil?

Thales de Mileto es considerado el primero de los Siete Sabios de Grecia, famoso grupo de ancianos a los que los antiguos helenos respetaban por su sabiduría.

Además de su conocido teorema, a Thales se le atribuye entre otros éxitos calcular la altura de la pirámide de Keops.

Imagen bajo licencia CC

Si no recuerdas qué dice el famoso Teorema de Thales, busca información sobre él en tu libro de texto o en internet. Infórmate también sobre qué quiere decir que dos triángulos estén en posición Thales.



Por ejemplo, en la imagen superior, los triángulos OAA' y OBB' se encuentran en posición Thales, ya que tienen un ángulo común (el del vértice O) y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos (AA' y BB').

Vas a utilizar todo lo anterior para calcular la longitud de una altura inaccesible. Eso sí, necesitas un móvil, una cinta métrica y una regla.

En la siguiente imagen te explicamos con más detenimiento cómo puedes hacerlo.



Tu objetivo es hallar la altura de la habitación (AC). Con una cinta métrica mide una altura accesible, por ejemplo la distancia a la que se encuentra el cuadro del suelo (AB). Haz una foto con el móvil teniendo en cuenta que debes colocarlo paralelo a la pared. Para esto último te puede ayudar un compañero.

Mide con una regla la imagen en el móvil de tu foto. Es decir, la distancia a la que se encuentra el cuadro del suelo (A'B') y la altura de la habitación (A'C'). 

Ahora aplica el Teorema ya que los triángulos OAC y OA'C' se encuentra en posición Thales. Con este procedimiento puedes calcular la altura de la habitación, o cualquier otra distancia inalcanzable.

Por eso, ahora te pedimos que utilizando una técnica similar a la anterior halles la altura de tu aula y de la pared del patio de tu instituto. Por supuesto, tendrás que acompañar tus mediciones y cálculos con un croquis donde expliques todo los que estás haciendo. Es preferible que hagas todo el trabajo en grupo de dos o tres compañeros. Eso sí, las explicaciones tienes que hacerlas de forma individual en tu cuaderno de trabajo. Por último, compara con otros grupos de compañeros si el resultado es similar, y analiza el por qué de las posibles diferencias.

Para terminar, volvemos a la pregunta inicial: ¿qué no hubiera hecho Thales con un móvil?

(Comentario didáctico: evidentemente, la idea de esta actividad es utilizar el Teorema de Thales en una situación cercana a los alumnos. El objetivo es que el aprendizaje sea práctico y no solo memorístico. En el desarrollo de la actividad se ponen en juego habilidades de todo tipo, no sólo matemáticas. Aprender a aprender, iniciativa personal son dos de las competencias que se intenta desarrollar con esta tarea, además de aspectos relacionados con la tecnológica y comunicación. Desde luego, es una buena oportunidad para evaluar las competencias claves de nuestro alumnado).

3 de junio de 2014

Actividad de introducción al Teorema de Pitágoras

Utiliza la siguiente escena de GeoGebra para responder en tu cuaderno a las cuestiones que se plan a continuación. Ten en cuenta que debes dibujar de la manera más exacta posible, todos los triángulos que se piden que construyas, incluyendo la longitud de sus lados y las medidas de sus ángulos.

Contesta las siguientes cuestiones en tu cuaderno de trabajo.

a) Construye, si es posible, tres triángulos rectángulos diferentes. Uno escaleno, otro isósceles, y un último equilátero. Si no es posible, explica con tus palabras el motivo.
b) En cada uno de los triángulos que hayas construido en el apartado anterior, indica quién es la hipotenusa y quiénes son los catetos.
c) Comprueba si se cumple el teorema de Pitágoras en cada uno de ellos. En el caso de que no sea así, a qué crees que es debido.
d) Construye un triángulo rectángulo en el que los catetos midan 6 y 8 cm respectivamente. Halla el valor de la hipotenusa aplicando Pitágoras. ¿Coincide con el valor de la hipotenusa que aparece en la escena?

29 de mayo de 2014

Puzle de comprobación del Teorema de Pitágoras

El gran Teorema de Pitágoras admite muchas demostraciones, algunas de ellas visualmente muy atractivas. Los puzles son una manera cercana de entender y comprobar el sentido del famoso enunciado: "en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa".

Esta escena de GeoGebra tiene como objetivo simular digitalmente uno de los puzles más conocidos.

¿Te atreves con él?