ESO. Escalas y Google Maps: el camino más corto

Haz la siguiente pregunta a un familiar tuyo que supere los cuarenta años: ¿en su juventud, qué objetos no faltaban en el equipaje cuando realizaba un largo viaje en coche? Casi seguro que la lista de utensilios incluía un mapa de carreteras.

Fotografía de elaboración propia

Mapas fáciles de extender y complicados de recoger. Con multitud de símbolos, colores y tamaños para representar y distinguir la categoría de las poblaciones y carreteras.

A vosotros, adolescentes nacidos en el siglo XXI y acostumbrados a las novedosas herramientas de la tecnología digital, este tipo de mapas os parecerá una reliquia, pero hay aspectos de ellos que aún siguen vigentes. Por ejemplo, uno muy importante y matemático: la escala. 

Observa la escala del mapa que aparece en la fotografía superior. Es 1:1000000. Como bien dice a continuación: un centímetro en el mapa corresponde a 10 kilómetros en la realidad. Si el mapa está correctamente hecho, la relación que existe entre lo representado y su imagen en papel es una semejanza. Recuerda: "la misma forma pero distinto tamaño".

El conocido y popular Google Maps también representa los planos y mapas a escala.

En el plano del pueblo de Trevélez puedes ver que el segmento señalado con la flecha roja corresponde a 200 metros en la realidad. Para conocer la escala de este plano tienes que medir con una regla graduada la longitud en centímetros de ese segmento, y realizar los cálculos para determinar qué distancia en la realidad corresponde a un centímetro en el plano.

Debes tener en cuenta que la escala variará según el tamaño de la pantalla del ordenador, móvil o tableta, y del tamaño de la ventana en la que veas la aplicación.

Seguro que ya te has pensado que la tarea que te proponemos está relacionada con mapas y escalas. Y has acertado, pero también tiene que ver con distancias en carreteras que en línea recta son mucho más cortas.

Observa la siguiente imagen.

En ella hemos pedido a Google Maps que busque la ruta para ir en coche de Capileira a Trevelez. Como puedes ver, al ser una zona montañosa de la falda sur de Sierra Nevada, el camino dista mucho de ser recto. En total son 23,3 km.

Te proponemos la siguiente tarea:

1. Utiliza Maps para buscar el recorrido en coche entre dos localidades en las que el camino tenga curvas o sea necesario por motivos orográficos dar un rodeo.
2. Una vez obtenida la ruta, calcula la distancia real que separa en línea recta las dos poblaciones. Para ello tienes que hacer mediciones con regla graduada sobre el mapa y cálculos para obtener la escala y la longitud solicitada, tanto en el mapa como en la realidad.
3. Para terminar, utiliza la herramienta "Medir la distancia" que incluye Google Maps, y determina la distancia real en línea recta que separa las poblaciones. Así puedes comprobar la precisión de tus cálculos.

Para acceder a esta herramienta sólo tienes que hacer clic sobre el mapa con el botón derecho de tu ratón, aparecerá una menú en el que la última opción es "Medir la distancia". 

En esta última imagen puedes ver que la distancia en línea recta entre Trevélez y Capileira es de algo más de nueves kilómetros.

Cuando hayas terminado envía tu profesor o profesora un correo electrónico que incluya:

• Una captura de pantalla donde se vean con claridad los pueblos que has elegido, la ruta y la distancia que se recorre, así como el segmento donde se indica la escala del mapa.
• Los valores que has obtenido al medir con la regla graduada la longitud del segmento de la escala y la distancia en línea recta entre las poblaciones.
• Los cálculos que has realizado para hallar la escala real del mapa, el valor de dicha escala expresada de la forma: "1 centímetro en el mapa corresponde a x centímetros en la realidad".
• La distancia real en línea recta entre las dos poblaciones, así como los cálculos que has realizado para obtenerla.
• Una segunda captura de pantalla que en la que, utilizando la herramienta "Medir la distancia", se vea con claridad la distancia real que hay entre las dos poblaciones. Si el resultado de tus cálculos es muy diferente de esta distancia, razona a qué se puede deber el error cometido. Recuerda que el error que importa es el relativo.
• Tu comentario personal donde expliques con brevedad por qué has elegido esas poblaciones y cuáles son las razones de que las distancias en línea recta y por la ruta sean tan diferentes.

Mucho ánimo, y ya lo dijo don Antonio Machado: "se hace camino al andar".

PROYECTO. El Sistema Solar en el patio de nuestro Instituto

Seguro que puedes recitar de memoria los planetas que giran alrededor de nuestra estrella, el Sol. A ver: Mercurio, Venus, Tierra, Marte... Te dejamos que continúes. Recuerda que el pobre Plutón lo degradaron a la condición de planeta enano ahora hace 11 años.

El Sistema Solar, ese pequeño rincón de la Vía Láctea donde se sitúa nuestro diminuto hogar, la Tierra. En este proyecto de trabajo vamos a intentar que lo conozcas mejor, sobre todo en lo que se refiere a la distancia que hay entre cada uno de los planetas y el Sol.

Y es que cualquier representación a escala nos suele mentir. Por ejemplo la que aparece en esta imagen.

Stellaris sistema solar con licencia CC by 2.0

El objetivo de vuestro trabajo es construir en una pared o cualquier otro espacio del patio de vuestro centro un modelo a escala, pero con proporciones reales, del Sistema Solar.

Es un trabajo para realizar en grupos de tres o cuatro compañeros. El profesor os asignará la zona del patio donde tenéis que exponer vuestro modelo. En ella debéis colocar círculos que indiquen tanto la posición del Sol como la de los planetas. Las distancias deben ser proporcionales a las reales. Los círculos irán acompañados de carteles con el nombre del objeto celeste que representan, además de unos breves datos sobre sus características más relevantes: tamaño, distancia real al Sol, satélites, incluso alguna imagen a escala.

Una vez colocados los círculos y demás datos complementarios, se hará una foto del modelo. Esta imagen tendréis que editarla convenientemente en el caso de que no se aprecie la información.

El trabajo debe incluir:

1. Diario de actuaciones, donde se describa cómo se va desarrollando el trabajo (10%).
2. Documento donde se especifiquen las medidas tomadas, los cálculos realizados, la búsqueda de información, dibujos o croquis explicativos, o cualquier otra actuación que hayáis realizado (50%).
3. Fotografía debidamente editada donde se aprecie con claridad el modelo (20%).
4. Evaluación del proyecto, con indicación de lo que pensáis que habéis aprendido (10%).
5. Documento de texto o presentación en donde se recojan los aspectos anteriores así como los carteles que acompañan a los planetas del modelo (10%).

Este último documento o presentación es el producto final que debéis enviar por correo electrónico a vuestro profesor.

Todos estos puntos serán tenidos en cuenta a la hora de la evaluación de vuestro trabajo. Siempre que lo necesitéis podéis consultar vuestras dudas con el profesor a través del correo electrónico o directamente en clase, en las horas fijadas para ello.

Seguro que te sorprenderá los lejos que están algunos planetas del Sol.

(Comentario didáctico: en esta entrada se presenta un proyecto de trabajo en el que se intenta que el alumnado ponga en juego la mayoría de las competencias claves: comunicación, matemática, científica y tecnológica, digital, aprender a aprender, iniciativa y espíritu emprendedor, así como actitudes para el trabajo colaborativo. Creemos necesario que la calificación de este trabajo implique un porcentaje significativo en la evaluación global del alumno).

ESO. ¿Qué no hubiera hecho Thales con un teléfono móvil?

Thales de Mileto es considerado el primero de los Siete Sabios de Grecia, famoso grupo de ancianos a los que los antiguos helenos respetaban por su sabiduría.

Además de su conocido teorema, a Thales se le atribuye entre otros éxitos calcular la altura de la pirámide de Keops.

Imagen bajo licencia CC

Si no recuerdas qué dice el famoso Teorema de Thales, busca información sobre él en tu libro de texto o en internet. Infórmate también sobre qué quiere decir que dos triángulos estén en posición Thales.

Por ejemplo, en la imagen superior, los triángulos OAA' y OBB' se encuentran en posición Thales, ya que tienen un ángulo común (el del vértice O) y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos (AA' y BB').

Vas a utilizar todo lo anterior para calcular la longitud de una altura inaccesible. Eso sí, necesitas un móvil, una cinta métrica y una regla.

En la siguiente imagen te explicamos con más detenimiento cómo puedes hacerlo.

Tu objetivo es hallar la altura de la habitación (AC). Con una cinta métrica mide una altura accesible, por ejemplo la distancia a la que se encuentra el cuadro del suelo (AB). Haz una foto con el móvil teniendo en cuenta que debes colocarlo paralelo a la pared. Para esto último te puede ayudar un compañero.

Mide con una regla la imagen en el móvil de tu foto. Es decir, la distancia a la que se encuentra el cuadro del suelo (A'B') y la altura de la habitación (A'C'). 

Ahora aplica el Teorema ya que los triángulos OAC y OA'C' se encuentra en posición Thales. Con este procedimiento puedes calcular la altura de la habitación, o cualquier otra distancia inalcanzable.

Por eso, ahora te pedimos que utilizando una técnica similar a la anterior halles la altura de tu aula y de la pared del patio de tu instituto. Por supuesto, tendrás que acompañar tus mediciones y cálculos con un croquis donde expliques todo los que estás haciendo. Es preferible que hagas todo el trabajo en grupo de dos o tres compañeros. Eso sí, las explicaciones tienes que hacerlas de forma individual en tu cuaderno de trabajo. Por último, compara con otros grupos de compañeros si el resultado es similar, y analiza el por qué de las posibles diferencias.

Para terminar, volvemos a la pregunta inicial: ¿qué no hubiera hecho Thales con un móvil?

(Comentario didáctico: evidentemente, la idea de esta actividad es utilizar el Teorema de Thales en una situación cercana a los alumnos. El objetivo es que el aprendizaje sea práctico y no solo memorístico. En el desarrollo de la actividad se ponen en juego habilidades de todo tipo, no sólo matemáticas. Aprender a aprender, iniciativa personal son dos de las competencias que se intenta desarrollar con esta tarea, además de aspectos relacionados con la tecnológica y comunicación. Desde luego, es una buena oportunidad para evaluar las competencias claves de nuestro alumnado).