Esta es la primera entrada del blog desde que me jubilé el pasado mes de septiembre. Por tanto, ya no es un blog de mis aulas, pero sí espero que lo sea de aquellos docentes y alumnos que se pasen por aquí.
La entrada está dedicada a estudiar cuándo dos años diferentes tienen un calendario común, es decir, todas las jornadas de ambos años caen en el mismo día de la semana.
La idea me vino a la cabeza cuando me di cuenta que este año 2025 el 20 de noviembre cae en jueves, igual que el 20 de noviembre de 1975, fecha de la muerte del dictador de mis país, Francisco Franco. Rápidamente pensé en por qué ocurría esto. ¿Casualidad?
Pues aquí empieza el trabajo que propongo en esta entrada. El reto es bien sencillo: ¿cada cuántos años se repiten los días de la semana en el calendario?
¿En qué otros años el 20 de noviembre fue jueves? ¿Por qué ocurren las repeticiones? ¿Siempre ocurre cada 50 años?
Son muchas las preguntas que surgen a la hora de encontrar la solución al problema planteado.
Es importante tener en cuenta que será muy diferente si se utiliza o no la información disponible en Internet. De todas formas, razonar el porqué de las repeticiones es un trabajo de reflexión que debe realizar el alumnado.
Por último, una curiosidad, antes de la aparición de Internet, cuándo se planteaba la duda de en qué día de la semana caía una fecha determinada de un año pasado o futuro, era frecuente usar un "Calendario perpetuo". Aquí se puede ver uno de ellos.
Enlace a la página en donde se ha obtenido la imagen.
Como despedida de esta primera entrada, un deseo: que 50 años después no se vuelvan a repetir las condiciones para que ningún tipo de dictadura vuelva a España.
No hay mejor manera de comenzar este 2025 que con un juego para un concepto a veces tan árido como el de polinomio.
El objetivo de esta tarea es trabajar las características más básicas de los polinomios. Se puede llevar al aula en los primeros niveles de la educación secundaria, cuando se está iniciando el estudio de ellos, o en niveles superiores para refrescar lo ya visto en cursos anteriores.
Para jugar hacen falta 16 cartas o fichas con un polinomio escrito en cada una de ellas. En la imagen se pueden ver dichos polinomios.
Debemos imprimir en cartulina y recortar las fichas en función del número de alumnos que tengamos en clase. Como se va a llevar a cabo en parejas es conveniente imprimir uno por cada dos alumnos. Siempre hay que imprimir una más, dada la dinámica del juego.
Veamos las reglas.
Quién es quién de características básicas de polinomios.
La mecánica del juego es la clásica del famoso juego infantil “¿Quién es quién?” con las caras de diferentes personajes.
En vez de las caras con gafas, bigotes, color de pelo y sexo, aparece un polinomio en cada una de las 16 cartas. Los polinomios se identifican con las siguientes características:
a)¿Tiene grado superior a 3?
b)¿Es negativo el término independiente?
c)¿Está completo el polinomio?
d)¿Está ordenado de mayor a menor grado de sus términos?
Con estas cuatro preguntas debe ser posible identificar cualquiera de los 16 polinomios.
Reglas del juego:
1)Es un juego de parejas, un alumno tiene la baraja con 16 fichas de polinomios, el otro una sola carta. El que tiene las 16 fichas las pone en la mesa boca arriba. El de la única carta la mira y la coloca boca abajo, sin que su compañero la vea en ningún momento.
2)El que tiene las 16 fichas debe adivinar en 4 preguntas la que tiene su compañero. Cada vez que hace una pregunta retira en un montón las que él cree que no cumplen la condición preguntada. Los montones de cada pregunta los coloca separados.
3)Cuando sólo queda una carta, el de la carta única muestra la suya. Si coinciden, gana un punto el que tenía las 16. Si no coinciden se miran lo montones y se identifica entre los dos jugadores quién ha cometido el error. El que no ha cometido el error gana 1 punto.
4)Se juega cuatro veces intercambiando en cada jugada los papeles: el que pregunta y quién tiene la única carta. Se comunica al profesor o profesora la puntuación.
Juego de las parejas.
Teniendo en cuenta que los 16 polinomios van emparejados ya que está un polinomio y su opuesto, podemos también jugar con ellos a las parejas.
La regla del juego son muy sencillas: se ponen las 16 fichas boca abajo y de forma alternada cada jugador levanta dos cartas y se las lleva si están emparejadas (es decir, sin son un polinomio y su opuesto). En el caso de que no lo estén, las vuelve a colocar boca abajo en la misma posición que estaban. Gana el jugador que cuando ya no queda ninguna tenga más cartas.
Como decía el famoso presentador de mediados de los años 80 del siglo pasado: ¡A jugar!
¿Eres una persona activa? ¿Te gusta el ejercicio físico? En la siguiente actividad de GeoGebra puedes ver que en un grupo de amigos hay bastantes miembros que les gusta hacer largos caminos, bien andando bien en bici.
La probabilidad nos ayudará a conocer algo mejor tanta afición por moverse.
Lee con detenimiento la situación que se plantea y contesta a las preguntas que se realizan. Debes tener en cuenta que cada vez que vuelvas a ver la actividad el escenario será distinto.
Mucho he tardado en publicar la primera entrada del curso 2024-25, pero es que los comienzos cada vez son más complicados. Pero, aquí estamos.
La primera se la dedico a mis alumnos y alumnas de segundo de bachillerato que a fecha de hoy, 10 de octubre, aún no saben cómo será su prueba de acceso a la universidad.
Para empezar, debes observar con detenimiento la imagen inferior en la que se explica cómo se construye la matriz adyacente M de un grafo.
Los elementos de M son 0 si no hay un camino (segmento) que una dos puntos y 1 si existe dicho segmento. La primera fila indica los caminos que salen de 1 y llegan: 1, 2, 3 y 4. La segunda fila los caminos que salen de 2 y llegan a 1, 2, 3 y 4. Y así sucesivamente. Los valores de la diagonal principal son todos 0 porque no hay caminos que salgan y vuelvan al mismo punto.
La matriz elevada a 3 indica los recorridos de un punto a otro en los que hay que pasar por tres caminos. No importa que sea ir y volver, ahí también se utilizan tres caminos. Por ejemplo nos fijamos en el valor 3 que son los recorridos que van del punto 1 al punto 2. Los tres recorridos serían: 1-2-1-2, 1-3-1-2 y 1-2-3-2. Otro ejemplo, nos fijamos en el 4 que indica los recorridos que hay para ir del punto 2 al 3, estos serían: 2-3-3-3, 2-1-2-3, 2-3-1-3 y 2-3-4-3.
Explicado lo anterior, te mostramos la siguiente escena de GeoGebra en la que se plantean tres preguntas.
Para responder a ellas tienes que construir la correspondiente matriz de adyacencia y después realizar las operaciones necesarias. No te preocupes, puedes usar GeoGebra para facilitarte los cálculos.
Esperemos que tu trabajo ayude a María, seguro que ella te lo agradece.
- La serpiente multicolor se enfrenta hoy a una etapa desconocida. Sólo dos puertos, uno de ellos en la meta, a la que se llegará tras recorrer 166 kilómetros. Las piernas ya no están para muchos trotes después de dos semanas de carrera. ¿Será esta la etapa que decida la carrera, Perico?
- Parece que sí, Carlos, aunque todo depende de dónde se encuentren el primer puerto y el principio del segundo, y ahí decide la derivada.
- ¿La derivada, Perico?
- La derivada primera, sí. El que hoy tengamos ciclismos de altura depende de la derivada.
Pues ya ves, según nuestros comentaristas desplazados a la vuelta, Carlos de Andrés y Perico Delgado, de la derivada depende que en esta etapa haya ciclismo de altura.
Contesta a las preguntas que se plantean en la escena de GeoGebra y envía a tu profesor una captura de pantalla de dicha escena en donde se vea la expresión analítica y una foto con los cálculos que has realizado en tu cuaderno de trabajo.
Al instante me quedé enganchado. Visualmente es muy atractivo, aunque cuando lo pensé más detenidamente caí en la cuenta de que un cubo no está preparado para rodar y rodar con cierta elegancia: ¡está lleno de aristas y ángulos rectos!
Como suele ocurrir, llevé el movimiento repetitivo del cubo a mi terreno: las matemáticas y su aplicación didáctica. Y me planteé varias cuestiones.
Dejo aquí dos.
Si la arista del primer cubo, el que empieza a rodar, mide 1 centímetro de lado, cuál será el volumen del tercer cubo. ¿Qué distancia en horizontal hay desde que el primer cubo comienza a rodar hasta que el tercer cubo llega al pie del cuarto?
Podemos generalizar, y preguntarnos por el volumen del cubo número n y la distancia hasta que el cubo n llega al pie del cubo n+1.
Seguro que a vosotros se os ocurren más cuestiones interesantes.
Espero vuestras respuestas a las preguntas anteriores. Por supuesto, sobre todo me interesan los cálculos y razonamientos que habéis realizado para llegar a ellas.
Mucho ánimo a todos para este curso. Ya sabéis, al mal tiempo, buena cara. Así que hablando de girar, vamos a despedirnos con un poco de humor.
¿Estás seguro de lo que ves? ¿Te engaña la vista? Disfruta de estos dos vídeos y puede ser que cambies de opinión.
Los dos vídeos nos muestran ilusiones ópticas muy elaboradas, con grandes medios tecnológicos y humanos, en las que entran en juego las matemáticas y las artes visuales.
Nosotros somos más humilde y vamos a realizar una ilusión óptica más sencilla y apoyada sobre todo en las matemáticas, vamos a hacer una anamorfosis.
Aquí te mostramos nuestro resultado y a continuación te explicaremos cómo lo hemos hecho, por si tú quieres llevarlo a cabo.
En primer lugar veamos con brevedad las matemáticas que ahí detrás. Hemos realizado una proyección desde un punto de un cuadrado sobre un plano. En la siguiente imagen, realizada con GeoGebra 3D, se puede ver mejor.
El punto desde el que se realiza la proyección es el negro, tiene de coordenadas: (-3, 0, 1.5). El cuadrado es el rojo, está situado en el plano YZ, sus vértices tienen coordenadas (0, -0.5, 0), (0, 0.5, 0), (0, 0.5, 1) y (0, -0.5, 1). La proyección del cuadrado se realizar sobre el plano XY y tiene como resultado el trapecio naranja, sus coordenadas son (0, -0.5, 0), (0, 0.5, 0), (6, 1.5, 0) y (6, -1.5, 0).
Traducido al mundo real, el observador del anamorfismo se sitúa a tres metros de la construcción y la mira aproximadamente a un metro y medio de altura. El cuadrado (imaginario), tiene un metro de lado y se encuentra al pie de la construcción que se realizará en el trapecio que tiene como dimensiones: un metro de base menor, tres metros de base mayor y seis de altura. Por lo tanto, para que todo salga bien necesitamos un espacio de al menos nueve metros de largo por tres de ancho.
A continuación, dividimos el cuadrado en una cuadrícula 8x8, lo que implica compartimentar el trapecio en una división proyectada similar. Veamos en esta otra imagen cómo queda.
Ahora sólo tenemos que representar en la cuadrícula del cuadrado el motivo o figura que deseamos representar y llevarla transformada a la división que hemos obtenido en el trapecio.
Aquí puedes ver el diseño de nuestro cubo en el cuadrado.
Y su transformada en el trapecio, que es el que tendremos que representar en el suelo.
Para facilitar tu trabajo te dejamos a continuación las plantillas del trapecio, el cubo y la silla.
En primer lugar, la plantilla de la retícula del trapecio, con su medidas en metros. En el metro de la base inferior tendremos que marcar siete puntos con esas distancias. En la base superior otros siete puntos con esas otras distancias. Y las distancias de la altura se refieren a eso, a la altura del trapecio, no a la longitud del lado.
Aquí tienes cómo quedaría la plantilla para dibujar el cubo.
Como puedes ver, se han numerado las marcas de los lados y las longitudes se han escrito en centímetros. Esto mejora el procedimiento de construcción. Insistimos, las longitudes de los lados se refieren a las marcas de la altura del trapecio, es decir del segmento central. Lo decimos porque el dibujo puede llevar a confusión.
Por último, dejamos la plantilla de la silla. Ahora sin numerar.
Para terminar, damos una consejos prácticos para hacer la construcción. Nuestra experiencia nos dice que lo mejor es utilizar cinta de carrocero tanto para construir el trapecio como la figura.
Nosotros empezamos representando la base menor, marcamos los puntos a la distancia indicada. Seguidamente representamos también con cinta carrocera la altura sobre el punto medio de la base. Marcamos los puntos con las distancias. Y a continuación construimos la base mayor con su marcas.
En la imagen superior se pueden ver los tres segmentos anteriores ya representados en el suelo.
A continuación, con un hilo fuerte señalados los dos lados laterales y en ellos vamos marcando con rotulador en el suelo los puntos correspondientes. Para ello es importante disponer de una escuadra o similar, ya que al unir los puntos que están a la misma altura de cada lado, el segmento debe ser perpendicular a la altura.
Marcados los lados y las bases, se colocan dos personas con un hilo tenso a cada lado de los lados y otras dos personas con otro hilo tenso a cada lado de las bases. El objetivo es ir marcando en el suelo los puntos de la construcción. Nosotros colocamos un trozo pequeño de cinta para señalar dichos puntos.
Una vez hecho esto, se construyen los segmentos que definen la figura.
Últimos consejos para que el anamorfismo quede bien. Las lineas más alejadas del observador se deben poner más gruesas, por ejemplo, la del respaldo superior de la silla tiene un ancho de tres cintas. Y en los segmentos que se alejan, también es conveniente ir ensanchando el grosor superponiendo cintas.
Cuando se termina, el observador se colocará a tres metros de la base del trapecio y, con un móvil se verá estupendamente el efecto. Con nuestra vista se aprecia mucho peor, ya que nuestra mirada tiene una visión panorámica al ser es con dos ojos, en tanto que el objetivo del móvil hace de foco único, el citado punto negro.
Te animo a construir tus anamorfismos. Seguro que te quedarán magníficos. Y si tenéis cualquier duda, no dudes en consultarme.
En las imágenes inferiores se pueden ver las instrucciones del 19º Concurso de Ingenio Matemático y los dos problemas que hay que resolver para inscribirse en él.
En los los siguientes enlaces también se pueden descargar los archivos en formato pdf: instrucciones, problemas.
Os animamos a participar, seguro que pasaréis un buen rato intentando resolver los problemas planteados.
¿Somos conscientes de cómo dependen nuestras vidas de la energía eléctrica? ¿Conocemos la cantidad de energía que necesita un país cómo España para ponerse en marcha cada día?
Pensemos por un momento en la gran variedad de actividades diarias que son imposibles sin la ayuda de la electricidad. ¿Es larga la lista? Interminable.
Todo lo anterior justifica que exista un organismo cuyo objetivo sea el de asegurar el correcto funcionamiento del sistema eléctrico y garantizar en todo momento su continuidad y calidad. En España esa organismo es Red Eléctrica de España (REE).
Nuestro interés se centrará en la demanda real de energía eléctrica, es decir, la gráfica de color amarillo de la imagen superior.
El reto que os proponemos es el siguiente: que elijas un día del mes próximo y que estudies cómo fue la gráfica y los valores de la demanda real de energía en ese día durante los últimos diez años, para así realizar una previsión de cómo va a ser la de este año.
Es un trabajo para realizar en grupos de tres o cuatro compañeros.
El trabajo debe incluir:
Diario de actuaciones, donde se describa cómo se va desarrollando el trabajo (10%).
Interés de las preguntas y dudas planteadas al profesor, encaminadas a la resolución del problema (10%).
Documento donde se especifiquen los datos tomados, cálculos realizados, tabla y gráfica con la demanda real de energía del día seleccionado, y la justificación documentada de la previsión que se realiza (60%).
Evaluación del proyecto, con indicación de lo que pensáis que habéis aprendido (10%).
Documento de texto o presentación en donde se recojan los puntos anteriores (10%).
Este último documento o presentación es el producto final que debéis enviar por correo electrónico a vuestro profesor. Todos estos puntos serán tenidos en cuenta a la hora de la evaluación de vuestro trabajo. Como se recoge en los criterios de evaluación, siempre que lo necesitéis podéis consultar vuestras dudas con el profesor a través del correo electrónico o directamente en clase, en las horas fijadas para ello.
Este blog se escribe desde Sevilla, ciudad del sur de España. Capital andaluza con una larga historia que siempre ha estado unida a del río que la cruza, el Guadalquivir.
Uno de sus monumentos más conocidos es la Torre del Oro. Este torreón se encuentra ubicado en la orilla del río y hasta mediados del siglo pasado atracaban a sus pies los barcos que bajaban hacia la desembocadura, en Sanlúcar de Barrameda.
Esta famosa torre va a ser la protagonista de nuestro proyecto de trabajo. El problema que tenéis que resolver es muy fácil de explicar: ¿cuántas caras se ve de ella en función de donde nos situemos a contemplarla?
Por ejemplo, en la fotografía anterior se pueden ver cinco caras. En la siguiente secuencia de imágenes podemos observar cómo el número de caras visibles va cambiando.
Imágenes de elaboración propia
¿De qué depende el hecho de que sean visibles más o menos caras? Esa es la cuestión a resolver. Y la trigonometría básica permiten dar una respuesta exacta a esa pregunta.
Es un trabajo para realizar en grupos de tres o cuatro compañeros.
El trabajo debe incluir:
Diario de actuaciones, donde se describa cómo se va desarrollando el trabajo (10%).
Interés de las preguntas y dudas planteadas al profesor, encaminadas a la resolución del problema (20%).
Documento donde se especifiquen las medidas tomadas, cálculos realizados, dibujos o croquis explicativos, y la solución precisa, así como cualquier otra acción que hayáis realizado (50%).
Evaluación del proyecto, con indicación de lo que pensáis que habéis aprendido (10%).
Documento de texto o presentación en donde se recojan los tres puntos anteriores (10%).
Este último documento o presentación es el producto final que debéis enviar por correo electrónico a vuestro profesor. Todos estos puntos serán tenidos en cuenta a la hora de la evaluación de vuestro trabajo. Como se recoge en los criterios de evaluación, siempre que lo necesitéis podéis consultar vuestras dudas con el profesor a través del correo electrónico o directamente en clase, en las horas fijadas para ello. Por último, aquí os dejamos una escena de GeoGebra que os puede ayudar a entender, analizar y resolver vuestro trabajo.
(Comentario didáctico: en esta entrada se presenta un proyecto de trabajo en el que se intenta que el alumnado ponga en juego la mayoría de las competencias claves: comunicación, matemática, científica y tecnológica, digital, aprender a aprender, iniciativa y espíritu emprendedor, así como actitudes para el trabajo colaborativo. Creemos necesario que la calificación de este trabajo implique un porcentaje significativo en la evaluación global del alumno).
Las alergias a los pólenes están en aumento. Cuando llega la floración de las diferentes clases de plantas, gran parte de la población se instala en el estornudo continuo y otros tipos más o menos serios de salud.
Para un alérgico es importante saber a qué tipo de polen se es sensible y la tasa de presencia en el aire. La Sociedad Española de Alergología e Inmunología Clínica (SEAIC), tiene una página en internet donde se publican estos valores en toda la geografía española para una gran variedad de pólenes.
En ella podemos seleccionar la zona geográfica, el tipo de polen y la fecha que deseamos conocer. En esta gráfica hemos elegido la estación de Sevilla- Hospital Macarena, las semillas de gramíneas y el mes de mayo de 2017.
Como se puede ver, el eje horizontal aparecen los días del mes y en el vertical el número de granos de polen por metro cúbico.
La gráfica nos plantea varios interrogantes. El más inmediato, ¿a qué se deben los cambios drásticos que aparecen en ella?
Uno de los motivos está relacionado con el tiempo meteorológico. En la página TuTiempo.net. podemos encontrar, entre otros recursos, un historial del clima de muchas ciudades españolas. Por ejemplo, en este enlace podemos acceder a todos los datos climatológicos de la ciudad de Sevilla en ya citado mes de mayo de 2017.
Te pedimos que te fijes en cómo variaron las precipitaciones diarias en ese mes. Es decir, que construyas la gráfica de la función que relaciona los días del mes con los milímetros cúbicos de lluvia caídos cada día. Una vez hecho esto, debes estudiar si existe alguna relación entre el nivel de polen de las gramíneas y las precipitaciones. Elabora un informe con tus conclusiones.
A continuación, selecciona otro tipo de polen para la misma ciudad y mes, y estudia si la variación también está influenciada por las precipitaciones de lluvia.
Por último, analiza si hay algún otro factor climatológico que influye en la cantidad de polen en el aire.
Seguro que puedes recitar de memoria los planetas que giran alrededor de nuestra estrella, el Sol. A ver: Mercurio, Venus, Tierra, Marte... Te dejamos que continúes. Recuerda que el pobre Plutón lo degradaron a la condición de planeta enano ahora hace 11 años.
El Sistema Solar, ese pequeño rincón de la Vía Láctea donde se sitúa nuestro diminuto hogar, la Tierra. En este proyecto de trabajo vamos a intentar que lo conozcas mejor, sobre todo en lo que se refiere a la distancia que hay entre cada uno de los planetas y el Sol.
Y es que cualquier representación a escala nos suele mentir. Por ejemplo la que aparece en esta imagen.
El objetivo de vuestro trabajo es construir en una pared o cualquier otro espacio del patio de vuestro centro un modelo a escala, pero con proporciones reales, del Sistema Solar.
Es un trabajo para realizar en grupos de tres o cuatro compañeros. El profesor os asignará la zona del patio donde tenéis que exponer vuestro modelo. En ella debéis colocar círculos que indiquen tanto la posición del Sol como la de los planetas. Las distancias deben ser proporcionales a las reales. Los círculos irán acompañados de carteles con el nombre del objeto celeste que representan, además de unos breves datos sobre sus características más relevantes: tamaño, distancia real al Sol, satélites, incluso alguna imagen a escala.
Una vez colocados los círculos y demás datos complementarios, se hará una foto del modelo. Esta imagen tendréis que editarla convenientemente en el caso de que no se aprecie la información.
El trabajo debe incluir:
Diario de actuaciones, donde se describa cómo se va desarrollando el trabajo (10%).
Documento donde se especifiquen las medidas tomadas, los cálculos realizados, la búsqueda de información, dibujos o croquis explicativos, o cualquier otra actuación que hayáis realizado (50%).
Fotografía debidamente editada donde se aprecie con claridad el modelo (20%).
Evaluación del proyecto, con indicación de lo que pensáis que habéis aprendido (10%).
Documento de texto o presentación en donde se recojan los aspectos anteriores así como los carteles que acompañan a los planetas del modelo (10%).
Este último documento o presentación es el producto final que debéis enviar por correo electrónico a vuestro profesor. Todos estos puntos serán tenidos en cuenta a la hora de la evaluación de vuestro trabajo. Siempre que lo necesitéis podéis consultar vuestras dudas con el profesor a través del correo electrónico o directamente en clase, en las horas fijadas para ello. Seguro que te sorprenderá los lejos que están algunos planetas del Sol.
(Comentario didáctico: en esta entrada se presenta un proyecto de trabajo en el que se intenta que el alumnado ponga en juego la mayoría de las competencias claves: comunicación, matemática, científica y tecnológica, digital, aprender a aprender, iniciativa y espíritu emprendedor, así como actitudes para el trabajo colaborativo. Creemos necesario que la calificación de este trabajo implique un porcentaje significativo en la evaluación global del alumno).
El diccionario de la RAE, define mosaico como una obra de piedras o vidrios, generalmente de varios colores. Casi seguro que esa palabra nos trae a la mente un mosaico romano o uno de la Alhambra o el Alcázar de Sevilla.
Esta segunda imagen nos lleva hacia los mosaicos que nos van a interesar a nosotros, los matemáticos. En concreto, los formados por polígonos regulares.
Accede a estos dos últimos enlaces y construye con la ayuda de la escena de GeoGebra que aparece más abajo, todos los mosaicos regulares y tres semirregulares uniformes.
Por último, y utilizando esta plantilla, dibuja en tu cuaderno de trabajo todos los mosaicos que has construido con la escena de GeoGebra. Añade en algún vértice de cada uno de estos mosaicos la amplitud de los ángulos de los polígonos que coinciden en él.
Observa con atención qué ocurre con estos ángulos, qué propiedad cumplen. Esto te ayudará a contestar la siguientes cuestiones:
¿Por qué sólo se pueden construir tres mosaicos regulares?
¿Qué tienen que cumplir los polígonos que aparecen en un mosaico semirregular uniforme?
Sabemos que una elipse se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos (F1 y F2), es constante (k, constante de la elipse).
Teniendo en cuenta esta definición, vamos a construir con GeoGebra una elipse.
En primer lugar fijamos los dos focos F1 ( -3, 0) y F2 ( 3, 0). A continuación, y teniendo en cuenta que la constante k siempre tiene que ser mayor a la distancia entre los focos, definimos k = 10.
Ahora creamos un deslizador de nombre r, valor mínimo 0, máximo k, incremento 0.01 y velocidad 0.5. Definimos una variable s = k - r.
Seguidamente, definimos una circunferencia de centro F1 y radio r, y otra de centro F2 y radio s. Movemos el deslizador r hasta que las dos circunferencias se corten. Con la herramienta “Intersección”, cortamos estas dos circunferencias.
En propiedades de las dos circunferencias elegimos que no se muestren, y en las de los dos puntos de intersección seleccionamos que no aparezca la etiqueta, se muestre el rastro, color rojo y tamaño de punto 2.
Definimos dos segmentos, cada uno de ellos con origen en los focos y de extremo en uno de los puntos intersección de las dos circunferencias. En las propiedades de estos segmentos escogemos que se muestre su “valor”, es decir, la longitud de cada uno de ellos.
¿Cuánto vale la suma de estas longitudes? ¿Por qué? Reflexiona sobre estas dos preguntas.
En las propiedades de “Vista gráfica”, elige que no se muestren los ejes ni la cuadrícula. Y en las propiedades del deslizador r escoge “Animación”.
¿Qué ocurre? ¿Qué figura aparece?
Ahora es el momento de que manipules los diferentes elementos de la elipse, los focos y la constante k, para analizar cómo influyen en la silueta de la cónica, sobre todo en su excentricidad.
Recuerda que siempre puedes borrar los rastros seleccionando “Vista” y “Actualiza las vistas (limpia rastros)” o haciendo “Ctrl+F”.
Para terminar, y siguiendo un proceso similar al que hemos hecho, construye una parábola y una hipérbola.
Te dejamos aquí dos escenas de GeoGebra con las construcciones de una elipse y una hipérbola.
Como ya hemos hecho en otras entradas de este blog, recurrimos a la página de la profesora Ana García Azcárate para proponeros una actividad algo distinta de las que aparecen en los libros de texto.
En esta ecuación, y para reforzar el concepto de sistema de ecuaciones con varias incógnitas, os proponemos un pasatiempo clásico que Ana García nos presenta con el título de "Sistemas de ecuaciones: la diagonal".
El acertijo consiste en averiguar los valores de las vocales que se encuentran en un rectángulo, sabiendo que las soluciones son las cifras que aparecen en la diagonal y que la suma de todas las filas es la misma y coincide justamente con el valor que se obtiene al sumar esos números de la diagonal.
Os proponemos aquí cuatro rectángulos distintos, debéis elegir dos, copiarlos y resolverlos en vuestro cuaderno de trabajo. Recordad que no sólo tenéis que decir la solución, además tenéis que explicar los pasos que habéis dado para llegar a ella.
Rectángulo 1
Rectángulo 2
Rectángulo 3
Rectángulo 4
Con ganas e imaginación seguro que no os será muy complicado resolver estos pasatiempos.
Presentamos dos pasatiempos que tienen como objetivo trabajar las potencias de números enteros y sus propiedades de una forma más atractiva y curiosa para los alumnos. Estas actividades son conveniente hacerlas al finalizar el estudio de potencias, ya que pueden servir como repaso y consolidación de los contenidos trabajados.
¿Cuál es el dibujo oculto?
Todos los puntos de la imagen inferior tienen asignada una operación. Para descubrir el dibujo oculto tienes que unir mediante una línea todos ellos. Empieza por el punto que tiene asociado el número más pequeño y continúa en orden creciente. Antes de empezar, la mejor estrategia es que simplifiques lo máximo posible todas las potencias y raíces que aparecen.
Número oculto.
¿Quieres saber qué número se oculta en esta tabla? Si es así, sólo tienes que sombrear todas las casillas cuyo valor sea igual a 64. Justifica el sombreado de las casillas.
Las caras del 16.
Expresa el número 16 de 8 formas diferentes, utilizando tan sólo potencias de 2, sus productos y cocientes.
Cada base tiene su exponente.
Utiliza una sola vez, todos y cada uno de los siguientes veintiún números para escribir siete igualdades del tipo ab=c.
