Gran parte de los docentes están muy preocupados porque su alumnado utiliza las herramientas que ofrece la inteligencia artificial para realizar casi todo los trabajos que les proponen. Intentar limitar esa tendencia es un empeño imposible.
En esta entrada del blog no sólo no te prohibimos que utilices la inteligencia artificial, al contrario, te invitamos a que lo hagas.
Observa la gráfica que aparece en la siguiente escena de GeoGebra (debes tener en cuenta que la escena cambia cada vez que actualizas o vuelves a entrar en la página del blog).
El trabajo que te proponemos consiste en la redacción de un problema en contexto de la vida real, al estilo de los que te plantean en las pruebas de la PEVAU, en el que se relacionen dos variables de tal forma que la función que lo modeliza tenga como gráfica la anterior.
Para ayudarte debes hacer uso de la inteligencia artificial, ahora bien, te vamos a exigir dos condiciones: sólo puedes hacerle tres preguntas y debes realizar capturas de pantallas de tu conversación con ella.
Los documentos que tienes que entregar para completar tu trabajo son:
Captura de pantalla de la escena de GeoGebra en donde se vean con claridad tanto la gráfica como el código.
Las capturas de pantalla de tus consultas a la inteligencia artificial.
El enunciado del problema que planteas, que debe incluir al menos determinar la expresión analítica de la función que tiene como gráfica la de tu escena de GeoGebra, junto con la solución al mismo.
En realidad, para llevar a cabo este trabajo lo más importante es que utilices tu inteligencia natural.
La primera entrada de 2024 va a tener aromas marítimos. En ella he incrustado una escena de GeoGebra que simula el salto de un pez sobre las aguas del mar. La intención de dicha situación es estudiar cuándo una ecuación de segundo grado es positiva, en este caso, cuándo el pez está en vuelo.
Te invitamos a que mires con detenimiento la escena, leas lo que se pide en ella y realices los cálculos necesarios para resolver el problema que se plantea.
Te deseamos que tengas buena mar y llegues a buen puerto.
Efectivamente, ¡distribución de las proporciones muestrales! A que suena raro. Pues no debería ser así, porque gracias a ellas somos capaces de conocer características de una población estudiando qué ocurre con una pequeña muestra de ella.
Y eso es lo que queremos que estudies con la siguiente escena de GeoGebra, cómo de afinada será nuestra predicción sobre la proporción de la población teniendo en cuenta la proporción de una muestra.
Seguro que tu estimación se ajustará bien a la proporción buscada.
En esta entrada de nuestro blog de aula puedes practicar las sumas y restas de fracciones con la ayuda de estas dos escenas de GeoGebra. Con ellas podrás comprobar si las vas haciendo bien, te darán un resultado correcto en el caso de te equivoques y obtendrás una puntuación final a tu trabajo.
Y no te distraemos más: sumas y restas fracciones sin parar, hasta el infinito y más allá.
- La serpiente multicolor se enfrenta hoy a una etapa desconocida. Sólo dos puertos, uno de ellos en la meta, a la que se llegará tras recorrer 166 kilómetros. Las piernas ya no están para muchos trotes después de dos semanas de carrera. ¿Será esta la etapa que decida la carrera, Perico?
- Parece que sí, Carlos, aunque todo depende de dónde se encuentren el primer puerto y el principio del segundo, y ahí decide la derivada.
- ¿La derivada, Perico?
- La derivada primera, sí. El que hoy tengamos ciclismos de altura depende de la derivada.
Pues ya ves, según nuestros comentaristas desplazados a la vuelta, Carlos de Andrés y Perico Delgado, de la derivada depende que en esta etapa haya ciclismo de altura.
Contesta a las preguntas que se plantean en la escena de GeoGebra y envía a tu profesor una captura de pantalla de dicha escena en donde se vea la expresión analítica y una foto con los cálculos que has realizado en tu cuaderno de trabajo.
¿Estás seguro de lo que ves? ¿Te engaña la vista? Disfruta de estos dos vídeos y puede ser que cambies de opinión.
Los dos vídeos nos muestran ilusiones ópticas muy elaboradas, con grandes medios tecnológicos y humanos, en las que entran en juego las matemáticas y las artes visuales.
Nosotros somos más humilde y vamos a realizar una ilusión óptica más sencilla y apoyada sobre todo en las matemáticas, vamos a hacer una anamorfosis.
Aquí te mostramos nuestro resultado y a continuación te explicaremos cómo lo hemos hecho, por si tú quieres llevarlo a cabo.
En primer lugar veamos con brevedad las matemáticas que ahí detrás. Hemos realizado una proyección desde un punto de un cuadrado sobre un plano. En la siguiente imagen, realizada con GeoGebra 3D, se puede ver mejor.
El punto desde el que se realiza la proyección es el negro, tiene de coordenadas: (-3, 0, 1.5). El cuadrado es el rojo, está situado en el plano YZ, sus vértices tienen coordenadas (0, -0.5, 0), (0, 0.5, 0), (0, 0.5, 1) y (0, -0.5, 1). La proyección del cuadrado se realizar sobre el plano XY y tiene como resultado el trapecio naranja, sus coordenadas son (0, -0.5, 0), (0, 0.5, 0), (6, 1.5, 0) y (6, -1.5, 0).
Traducido al mundo real, el observador del anamorfismo se sitúa a tres metros de la construcción y la mira aproximadamente a un metro y medio de altura. El cuadrado (imaginario), tiene un metro de lado y se encuentra al pie de la construcción que se realizará en el trapecio que tiene como dimensiones: un metro de base menor, tres metros de base mayor y seis de altura. Por lo tanto, para que todo salga bien necesitamos un espacio de al menos nueve metros de largo por tres de ancho.
A continuación, dividimos el cuadrado en una cuadrícula 8x8, lo que implica compartimentar el trapecio en una división proyectada similar. Veamos en esta otra imagen cómo queda.
Ahora sólo tenemos que representar en la cuadrícula del cuadrado el motivo o figura que deseamos representar y llevarla transformada a la división que hemos obtenido en el trapecio.
Aquí puedes ver el diseño de nuestro cubo en el cuadrado.
Y su transformada en el trapecio, que es el que tendremos que representar en el suelo.
Para facilitar tu trabajo te dejamos a continuación las plantillas del trapecio, el cubo y la silla.
En primer lugar, la plantilla de la retícula del trapecio, con su medidas en metros. En el metro de la base inferior tendremos que marcar siete puntos con esas distancias. En la base superior otros siete puntos con esas otras distancias. Y las distancias de la altura se refieren a eso, a la altura del trapecio, no a la longitud del lado.
Aquí tienes cómo quedaría la plantilla para dibujar el cubo.
Como puedes ver, se han numerado las marcas de los lados y las longitudes se han escrito en centímetros. Esto mejora el procedimiento de construcción. Insistimos, las longitudes de los lados se refieren a las marcas de la altura del trapecio, es decir del segmento central. Lo decimos porque el dibujo puede llevar a confusión.
Por último, dejamos la plantilla de la silla. Ahora sin numerar.
Para terminar, damos una consejos prácticos para hacer la construcción. Nuestra experiencia nos dice que lo mejor es utilizar cinta de carrocero tanto para construir el trapecio como la figura.
Nosotros empezamos representando la base menor, marcamos los puntos a la distancia indicada. Seguidamente representamos también con cinta carrocera la altura sobre el punto medio de la base. Marcamos los puntos con las distancias. Y a continuación construimos la base mayor con su marcas.
En la imagen superior se pueden ver los tres segmentos anteriores ya representados en el suelo.
A continuación, con un hilo fuerte señalados los dos lados laterales y en ellos vamos marcando con rotulador en el suelo los puntos correspondientes. Para ello es importante disponer de una escuadra o similar, ya que al unir los puntos que están a la misma altura de cada lado, el segmento debe ser perpendicular a la altura.
Marcados los lados y las bases, se colocan dos personas con un hilo tenso a cada lado de los lados y otras dos personas con otro hilo tenso a cada lado de las bases. El objetivo es ir marcando en el suelo los puntos de la construcción. Nosotros colocamos un trozo pequeño de cinta para señalar dichos puntos.
Una vez hecho esto, se construyen los segmentos que definen la figura.
Últimos consejos para que el anamorfismo quede bien. Las lineas más alejadas del observador se deben poner más gruesas, por ejemplo, la del respaldo superior de la silla tiene un ancho de tres cintas. Y en los segmentos que se alejan, también es conveniente ir ensanchando el grosor superponiendo cintas.
Cuando se termina, el observador se colocará a tres metros de la base del trapecio y, con un móvil se verá estupendamente el efecto. Con nuestra vista se aprecia mucho peor, ya que nuestra mirada tiene una visión panorámica al ser es con dos ojos, en tanto que el objetivo del móvil hace de foco único, el citado punto negro.
Te animo a construir tus anamorfismos. Seguro que te quedarán magníficos. Y si tenéis cualquier duda, no dudes en consultarme.
En la siguiente escena de GeoGebra se representan gráficamente la media y la desviación típica de una distribución estadística. Las frecuencias absolutas de los datos se pueden cambiar deslizando los puntos rojos situados en la parte superior de cada una de las barras del diagrama.
De forma automática, la media y el entorno de centro esa media y radio la desviación típica, se moverán ajustándose a los cambios que se hagan en las frecuencias absolutas.
El objeto de la escena es invitar a la reflexión sobre cómo influyen la variación de las frecuencias en la posición de estos parámetros estadísticos y en la amplitud del entorno por ellos definido, así como la proporción de datos que están dentro de este entorno.
Esperemos que trabajar con la escena sea utilidad a la hora de comprender el significado de la media y desviación típica de una distribución estadística.
Presentamos en esta entrada una escena de GeoGebra en la que se trabaja el estudio de las funciones cuadráticas.
El objetivo es averiguar la expresión analítica conocida la gráfica de la función, en este caso una parábola. Para ello es necesario analizar las transformaciones geométricas que se han efectuado sobre la función cuadrática más conocida f(x) = x 2.
Esta entrada de nuestro blog está dedicada a las operaciones básicas con vectores: suma, vector opuesto, producto por un escalar, combinación lineal.
Para entender con más facilidad lo que implica cada una de las acciones anteriores, te presentamos la siguiente escena de GeoGebra.
En ella hay dos vectores, u y v que se pueden mover y modificar. También aparecen cuatro casillas de verificación. Al hacer clic sobre cada una de ellas aparecerá representada la operación indicada: suma de u y v, opuesto de u, multiplicación de u por un número r, y combinaciones lineales de u y v, que vendrán dadas por los valores que asignemos a r y s en los deslizadores de la izquierda.
El objetivo es que trabajes con ella y de esa forma conozcas mejor lo que significan cada una de las operaciones que se presentan.
La Alhambra de Granada es el monumento andaluz más visitado. Este conjunto arquitectónico esconde gran variedad de tesoros artísticos, nosotros vamos a poner nuestra atención en los azulejos que adornan las paredes de sus palacios y patios.
En concreto, pondremos nuestra atención en uno conocido como el "avión" o la "flecha".
Vamos a desarrollar su construcción con GeoGebra y para simplificarla, rectificaremos sus lados.
En este vídeo puedes seguir paso a paso cómo se genera.
Una vez que hayas dibujado el mosaico, tienes que determinar en él los cuatro movimientos que hemos explicado en clase: traslación por un vector, rotación, simetría central y simetría por un eje.
Para cada uno de ellos tienes que señalar la pieza inicial y la resultante del movimiento, y los elementos que interviene en cada uno de ellos, es decir:
Traslación: indicar el vector que realiza el desplazamiento.
Rotación: mostrar el centro de giro y decir el ángulo girado.
Simetría central: señalar el punto respecto el que se hace la simetría.
Simetría axial: representar la recta que realiza este movimiento.
En esta entrada presentamos dos escenas de GeoGebra en las que se simulan funciones definidas a trozos. El primer contacto con este tipo de funciones suele extrañar a los alumnos, ya que una primera mirada puede considerarlas como funciones poco "naturales".
Con estos dos ejemplos pretendemos un acercamiento amable y demostrar que no son funciones tan "raras", que aparecen en multitud de situaciones de la realidad.
La primera es un intento de modelizar numéricamente el funcionamiento de un semáforo.
La segunda demuestra que las funciones definidas a trozos están presentes en la realidad, por ejemplo, en cómo late nuestro corazón y la forma en que se propagan las señales eléctricas que genera.
Como actividad, te pedimos que escribas la expresión analítica de la función definida a trozos de la escena. Hay que tener en cuenta que al recargar la página, la función cambia.
Esperamos que estos ejemplos te hagan perder el miedo a las incomprendidas funciones definidas a trozos.
Conocer el área encerrada por una curva ha sido uno de los retos a los que la humanidad se ha enfrentado desde la antigüedad. El genial sabio griego Arquímedes es uno de los protagonistas destacados de este desafío, pero son muchos más los que intervinieron en su solución.
Newton se subió a hombros de muchos de sus antecesores para crear, casi a la par que su rival Leibniz el cálculo infinitesimal. Magnífica herramienta teórica para el cálculo de áreas. Pero tuvo que transcurrir más de un siglo hasta que Riemann aportó su granito con la integral que lleva su nombre.
En este vídeo podemos acercarnos de forma visual e intuitiva a la idea que tuvo el matemático alemán.
Pero esta historia no acaba con Riemann, tuvo que ser Lebesgue el que diera carpetazo formal y riguroso al hasta en ese momento eterno problema del área. Su formidable idea de definir la medida parece haber agotado definitivamente el reto.
Como se puede apreciar, esta cuestión de calcular el área es un misterio digno de Indiana Jones.
Compartimos aquí una escena de GeoGebra en la que se simula un truco de magia clásico con tarjetas. Juega unas cuantas veces y, en el caso de que no lo conozcas, intenta descubrir cómo es posible que siempre acierte.
Aunque no lo parezca, las matemáticas son el fundamento del truco. Las potencias de dos, el sistema binario de 0 y 1 y asociar imágenes a números son los factores que intervienen en la adivinación. Intenta adivinarlo. ¿Te atreves?
En esta entrada mostramos una escena de GeoGebra en la que te pedimos que halles los tres primeros decimales de un número real.
Puedes acercarte poco a poco al número y así ir conociendo esta parte decimal que te proponemos adivinar. Una vez determinada, escribe la respuesta y comprueba si es correcta.
Pulsando sobre el botón "Nuevo punto" puedes intentar adivinar las cifras de otros números.
Thales de Mileto es considerado el primero de los Siete Sabios de Grecia, famoso grupo de ancianos a los que los antiguos helenos respetaban por su sabiduría.
Si no recuerdas qué dice el famoso Teorema de Thales, busca información sobre él en tu libro de texto o en internet. Infórmate también sobre qué quiere decir que dos triángulos estén en posición Thales.
Por ejemplo, en la imagen superior, los triángulos OAA' y OBB' se encuentran en posición Thales, ya que tienen un ángulo común (el del vértice O) y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos (AA' y BB').
Vas a utilizar todo lo anterior para calcular la longitud de una altura inaccesible. Eso sí, necesitas un móvil, una cinta métrica y una regla.
En la siguiente imagen te explicamos con más detenimiento cómo puedes hacerlo.
Tu objetivo es hallar la altura de la habitación (AC). Con una cinta métrica mide una altura accesible, por ejemplo la distancia a la que se encuentra el cuadro del suelo (AB). Haz una foto con el móvil teniendo en cuenta que debes colocarlo paralelo a la pared. Para esto último te puede ayudar un compañero.
Mide con una regla la imagen en el móvil de tu foto. Es decir, la distancia a la que se encuentra el cuadro del suelo (A'B') y la altura de la habitación (A'C').
Ahora aplica el Teorema ya que los triángulos OAC y OA'C' se encuentra en posición Thales. Con este procedimiento puedes calcular la altura de la habitación, o cualquier otra distancia inalcanzable.
Por eso, ahora te pedimos que utilizando una técnica similar a la anterior halles la altura de tu aula y de la pared del patio de tu instituto. Por supuesto, tendrás que acompañar tus mediciones y cálculos con un croquis donde expliques todo los que estás haciendo. Es preferible que hagas todo el trabajo en grupo de dos o tres compañeros. Eso sí, las explicaciones tienes que hacerlas de forma individual en tu cuaderno de trabajo. Por último, compara con otros grupos de compañeros si el resultado es similar, y analiza el por qué de las posibles diferencias.
Para terminar, volvemos a la pregunta inicial: ¿qué no hubiera hecho Thales con un móvil?
(Comentario didáctico: evidentemente, la idea de esta actividad es utilizar el Teorema de Thales en una situación cercana a los alumnos. El objetivo es que el aprendizaje sea práctico y no solo memorístico. En el desarrollo de la actividad se ponen en juego habilidades de todo tipo, no sólo matemáticas. Aprender a aprender, iniciativa personal son dos de las competencias que se intenta desarrollar con esta tarea, además de aspectos relacionados con la tecnológica y comunicación. Desde luego, es una buena oportunidad para evaluar las competencias claves de nuestro alumnado).
El diccionario de la RAE, define mosaico como una obra de piedras o vidrios, generalmente de varios colores. Casi seguro que esa palabra nos trae a la mente un mosaico romano o uno de la Alhambra o el Alcázar de Sevilla.
Esta segunda imagen nos lleva hacia los mosaicos que nos van a interesar a nosotros, los matemáticos. En concreto, los formados por polígonos regulares.
Accede a estos dos últimos enlaces y construye con la ayuda de la escena de GeoGebra que aparece más abajo, todos los mosaicos regulares y tres semirregulares uniformes.
Por último, y utilizando esta plantilla, dibuja en tu cuaderno de trabajo todos los mosaicos que has construido con la escena de GeoGebra. Añade en algún vértice de cada uno de estos mosaicos la amplitud de los ángulos de los polígonos que coinciden en él.
Observa con atención qué ocurre con estos ángulos, qué propiedad cumplen. Esto te ayudará a contestar la siguientes cuestiones:
¿Por qué sólo se pueden construir tres mosaicos regulares?
¿Qué tienen que cumplir los polígonos que aparecen en un mosaico semirregular uniforme?
Sabemos que una elipse se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos (F1 y F2), es constante (k, constante de la elipse).
Teniendo en cuenta esta definición, vamos a construir con GeoGebra una elipse.
En primer lugar fijamos los dos focos F1 ( -3, 0) y F2 ( 3, 0). A continuación, y teniendo en cuenta que la constante k siempre tiene que ser mayor a la distancia entre los focos, definimos k = 10.
Ahora creamos un deslizador de nombre r, valor mínimo 0, máximo k, incremento 0.01 y velocidad 0.5. Definimos una variable s = k - r.
Seguidamente, definimos una circunferencia de centro F1 y radio r, y otra de centro F2 y radio s. Movemos el deslizador r hasta que las dos circunferencias se corten. Con la herramienta “Intersección”, cortamos estas dos circunferencias.
En propiedades de las dos circunferencias elegimos que no se muestren, y en las de los dos puntos de intersección seleccionamos que no aparezca la etiqueta, se muestre el rastro, color rojo y tamaño de punto 2.
Definimos dos segmentos, cada uno de ellos con origen en los focos y de extremo en uno de los puntos intersección de las dos circunferencias. En las propiedades de estos segmentos escogemos que se muestre su “valor”, es decir, la longitud de cada uno de ellos.
¿Cuánto vale la suma de estas longitudes? ¿Por qué? Reflexiona sobre estas dos preguntas.
En las propiedades de “Vista gráfica”, elige que no se muestren los ejes ni la cuadrícula. Y en las propiedades del deslizador r escoge “Animación”.
¿Qué ocurre? ¿Qué figura aparece?
Ahora es el momento de que manipules los diferentes elementos de la elipse, los focos y la constante k, para analizar cómo influyen en la silueta de la cónica, sobre todo en su excentricidad.
Recuerda que siempre puedes borrar los rastros seleccionando “Vista” y “Actualiza las vistas (limpia rastros)” o haciendo “Ctrl+F”.
Para terminar, y siguiendo un proceso similar al que hemos hecho, construye una parábola y una hipérbola.
Te dejamos aquí dos escenas de GeoGebra con las construcciones de una elipse y una hipérbola.
En el segundo proyecto de trabajo de este curso vamos a utilizar GeoGebra como herramienta para crear escenas en la que el movimiento sea el protagonista.
Y cuando decimos movimiento nos referimos a la simulación de desplazamientos de animales o el funcionamiento de robots o maquinaria.
Mostramos dos escenas que podéis utilizar como ejemplos o guía para que vuestra imaginación se ponga en acción.
Como se puede ver, el primero intenta representar el vuelo de un ave, en tanto que el segundo aparenta ser la oscilación de la puerta basculante de un garaje.
Al igual que en el anterior proyecto, el trabajo lo realizarás en grupo formado por tres o cuatro compañeros. Es necesario que elijáis un portavoz que será la persona que estará en contacto con el profesor o profesora a la hora de consultar dudas o cualquier otro tipo de preguntas.
El trabajo debe incluir:
Guión temporalizado de los pasos que pensáis dar (5%).
Diario de actuaciones, donde se recoja cómo se va desarrollando el trabajo (20%).
Listado de instrucciones y comandos de GeoGebra que habéis utilizado (20%).
Archivo de GeoGebra con la escena que simula el movimiento. Se valorará la originalidad del objeto que realiza el movimiento (35%).
Evaluación del proyecto, con indicación de lo que pensáis que habéis aprendido (10%).
Documento de texto o presentación en donde se recojan los aspectos anteriores (10%).
Todos estos puntos serán tenidos en cuenta a la hora de la evaluación de vuestro trabajo. Siempre que lo necesitéis podéis consultar vuestras dudas con el profesor a través del correo electrónico o directamente en clase, en las horas fijadas para ello.
Mucha suerte y como dijo el poeta: "caminante no hay camino, se hace camino al andar". En este caso con GeoGebra.
(Comentario didáctico: en esta entrada se presenta un proyecto de trabajo en el que se intenta que el alumnado ponga en juego la mayoría de las competencias claves: lingüística, matemática, científica y tecnológica, digital, aprender a aprender, iniciativa y espíritu emprendedor, así como actitudes para el trabajo colaborativo. Creemos necesario que la calificación de este trabajo implique un porcentaje significativo en la evaluación global del alumno).
La espiral es una curva que aparece en muchos objetos de la naturaleza, conchas de animales, crecimiento de tallos de vegetales, incluso la forma de nuestra galaxia.
En esta entrada vamos a utilizar la belleza de las espirales para aplicar lo que hemos aprendido cuando hemos trabajado las progresiones geométricas.
Te presentamos dos escenas de GeoGebra en las que se te pide calcular la longitud de espirales de las que conocemos lo que miden algunos tramos de su desarrollo.
