El objetivo es invitarte a reflexionar sobre las actividades más usuales que llevas a cabo a lo largo de un día laborable, el tiempo que dedicas a ellas y qué representan respecto del total de la jornada.
Para resolver la tarea tendrás que elaborar un documento en el que indiques las actividades más comunes y que duren más de media hora en conjunto a lo largo de un día laborable típico de tu vida de estudiante. Debes señalar entre 6 y 10 actividades.
De cada una de ellas tienes que indicar el tiempo que dedicas. A continuación, deberás representar en un rectángulo, rectángulos más pequeños para cada uno de estas actividades, indicando el tiempo que empleas y las fracciones que representan respecto a las 24 horas del día. El tamaño del rectángulo de cada actividad debe estar proporcionado respecto al rectángulo que representa el total de un día.
Seguidamente, suma las fracciones asociadas a cada actividad y comenta el resultado que has obtenido.
Supongamos que en los cinco días de una semana repites el reparto anterior. ¿Cuántas horas dedicas de lunes a viernes a cada una de tus actividades? Y si los repitieras todos los días laborables de cuatro semanas seguidas. ¿Cuántas horas dedicarías a cada una de las actividades?
Por último, y a la vista de tu gráfico y de todos los datos hallados en los apartados anteriores, realiza una valoración personal y crítica de lo que haces en tu vida cotidiana y escolar.
Para despedirnos, un consejo: aprovecha bien tu tiempo. Ya lo dice la expresión latina: "tempus fugit".
¿Estás seguro de lo que ves? ¿Te engaña la vista? Disfruta de estos dos vídeos y puede ser que cambies de opinión.
Los dos vídeos nos muestran ilusiones ópticas muy elaboradas, con grandes medios tecnológicos y humanos, en las que entran en juego las matemáticas y las artes visuales.
Nosotros somos más humilde y vamos a realizar una ilusión óptica más sencilla y apoyada sobre todo en las matemáticas, vamos a hacer una anamorfosis.
Aquí te mostramos nuestro resultado y a continuación te explicaremos cómo lo hemos hecho, por si tú quieres llevarlo a cabo.
En primer lugar veamos con brevedad las matemáticas que ahí detrás. Hemos realizado una proyección desde un punto de un cuadrado sobre un plano. En la siguiente imagen, realizada con GeoGebra 3D, se puede ver mejor.
El punto desde el que se realiza la proyección es el negro, tiene de coordenadas: (-3, 0, 1.5). El cuadrado es el rojo, está situado en el plano YZ, sus vértices tienen coordenadas (0, -0.5, 0), (0, 0.5, 0), (0, 0.5, 1) y (0, -0.5, 1). La proyección del cuadrado se realizar sobre el plano XY y tiene como resultado el trapecio naranja, sus coordenadas son (0, -0.5, 0), (0, 0.5, 0), (6, 1.5, 0) y (6, -1.5, 0).
Traducido al mundo real, el observador del anamorfismo se sitúa a tres metros de la construcción y la mira aproximadamente a un metro y medio de altura. El cuadrado (imaginario), tiene un metro de lado y se encuentra al pie de la construcción que se realizará en el trapecio que tiene como dimensiones: un metro de base menor, tres metros de base mayor y seis de altura. Por lo tanto, para que todo salga bien necesitamos un espacio de al menos nueve metros de largo por tres de ancho.
A continuación, dividimos el cuadrado en una cuadrícula 8x8, lo que implica compartimentar el trapecio en una división proyectada similar. Veamos en esta otra imagen cómo queda.
Ahora sólo tenemos que representar en la cuadrícula del cuadrado el motivo o figura que deseamos representar y llevarla transformada a la división que hemos obtenido en el trapecio.
Aquí puedes ver el diseño de nuestro cubo en el cuadrado.
Y su transformada en el trapecio, que es el que tendremos que representar en el suelo.
Para facilitar tu trabajo te dejamos a continuación las plantillas del trapecio, el cubo y la silla.
En primer lugar, la plantilla de la retícula del trapecio, con su medidas en metros. En el metro de la base inferior tendremos que marcar siete puntos con esas distancias. En la base superior otros siete puntos con esas otras distancias. Y las distancias de la altura se refieren a eso, a la altura del trapecio, no a la longitud del lado.
Aquí tienes cómo quedaría la plantilla para dibujar el cubo.
Como puedes ver, se han numerado las marcas de los lados y las longitudes se han escrito en centímetros. Esto mejora el procedimiento de construcción. Insistimos, las longitudes de los lados se refieren a las marcas de la altura del trapecio, es decir del segmento central. Lo decimos porque el dibujo puede llevar a confusión.
Por último, dejamos la plantilla de la silla. Ahora sin numerar.
Para terminar, damos una consejos prácticos para hacer la construcción. Nuestra experiencia nos dice que lo mejor es utilizar cinta de carrocero tanto para construir el trapecio como la figura.
Nosotros empezamos representando la base menor, marcamos los puntos a la distancia indicada. Seguidamente representamos también con cinta carrocera la altura sobre el punto medio de la base. Marcamos los puntos con las distancias. Y a continuación construimos la base mayor con su marcas.
En la imagen superior se pueden ver los tres segmentos anteriores ya representados en el suelo.
A continuación, con un hilo fuerte señalados los dos lados laterales y en ellos vamos marcando con rotulador en el suelo los puntos correspondientes. Para ello es importante disponer de una escuadra o similar, ya que al unir los puntos que están a la misma altura de cada lado, el segmento debe ser perpendicular a la altura.
Marcados los lados y las bases, se colocan dos personas con un hilo tenso a cada lado de los lados y otras dos personas con otro hilo tenso a cada lado de las bases. El objetivo es ir marcando en el suelo los puntos de la construcción. Nosotros colocamos un trozo pequeño de cinta para señalar dichos puntos.
Una vez hecho esto, se construyen los segmentos que definen la figura.
Últimos consejos para que el anamorfismo quede bien. Las lineas más alejadas del observador se deben poner más gruesas, por ejemplo, la del respaldo superior de la silla tiene un ancho de tres cintas. Y en los segmentos que se alejan, también es conveniente ir ensanchando el grosor superponiendo cintas.
Cuando se termina, el observador se colocará a tres metros de la base del trapecio y, con un móvil se verá estupendamente el efecto. Con nuestra vista se aprecia mucho peor, ya que nuestra mirada tiene una visión panorámica al ser es con dos ojos, en tanto que el objetivo del móvil hace de foco único, el citado punto negro.
Te animo a construir tus anamorfismos. Seguro que te quedarán magníficos. Y si tenéis cualquier duda, no dudes en consultarme.
Haz la siguiente pregunta a un familiar tuyo que supere los cuarenta años: ¿en su juventud, qué objetos no faltaban en el equipaje cuando realizaba un largo viaje en coche? Casi seguro que la lista de utensilios incluía un mapa de carreteras.
Fotografía de elaboración propia
Mapas fáciles de extender y complicados de recoger. Con multitud de símbolos, colores y tamaños para representar y distinguir la categoría de las poblaciones y carreteras.
A vosotros, adolescentes nacidos en el siglo XXI y acostumbrados a las novedosas herramientas de la tecnología digital, este tipo de mapas os parecerá una reliquia, pero hay aspectos de ellos que aún siguen vigentes. Por ejemplo, uno muy importante y matemático: la escala.
Observa la escala del mapa que aparece en la fotografía superior. Es 1:1000000. Como bien dice a continuación: un centímetro en el mapa corresponde a 10 kilómetros en la realidad. Si el mapa está correctamente hecho, la relación que existe entre lo representado y su imagen en papel es una semejanza. Recuerda: "la misma forma pero distinto tamaño".
El conocido y popular Google Maps también representa los planos y mapas a escala.
En el plano del pueblo de Trevélezpuedes ver que el segmento señalado con la flecha roja corresponde a 200 metros en la realidad. Para conocer la escala de este plano tienes que medir con una regla graduada la longitud en centímetros de ese segmento, y realizar los cálculos para determinar qué distancia en la realidad corresponde a un centímetro en el plano.
Debes tener en cuenta que la escala variará según el tamaño de la pantalla del ordenador, móvil o tableta, y del tamaño de la ventana en la que veas la aplicación.
Seguro que ya te has pensado que la tarea que te proponemos está relacionada con mapas y escalas. Y has acertado, pero también tiene que ver con distancias en carreteras que en línea recta son mucho más cortas.
Observa la siguiente imagen.
En ella hemos pedido a Google Maps que busque la ruta para ir en coche de Capileira a Trevelez. Como puedes ver, al ser una zona montañosa de la falda sur de Sierra Nevada, el camino dista mucho de ser recto. En total son 23,3 km.
Te proponemos la siguiente tarea:
Utiliza Maps para buscar el recorrido en coche entre dos localidades en las que el camino tenga curvas o sea necesario por motivos orográficos dar un rodeo.
Una vez obtenida la ruta, calcula la distancia real que separa en línea recta las dos poblaciones. Para ello tienes que hacer mediciones con regla graduada sobre el mapa y cálculos para obtener la escala y la longitud solicitada, tanto en el mapa como en la realidad.
Para terminar, utiliza la herramienta "Medir la distancia" que incluye Google Maps, y determina la distancia real en línea recta que separa las poblaciones. Así puedes comprobar la precisión de tus cálculos.
Para acceder a esta herramienta sólo tienes que hacer clic sobre el mapa con el botón derecho de tu ratón, aparecerá una menú en el que la última opción es "Medir la distancia".
En esta última imagen puedes ver que la distancia en línea recta entre Trevélez y Capileira es de algo más de nueves kilómetros.
Cuando hayas terminado envía tu profesor o profesora un correo electrónico que incluya:
Una captura de pantalla donde se vean con claridad los pueblos que has elegido, la ruta y la distancia que se recorre, así como el segmento donde se indica la escala del mapa.
Los valores que has obtenido al medir con la regla graduada la longitud del segmento de la escala y la distancia en línea recta entre las poblaciones.
Los cálculos que has realizado para hallar la escala real del mapa, el valor de dicha escala expresada de la forma: "1 centímetro en el mapa corresponde a x centímetros en la realidad".
La distancia real en línea recta entre las dos poblaciones, así como los cálculos que has realizado para obtenerla.
Una segunda captura de pantalla que en la que, utilizando la herramienta "Medir la distancia", se vea con claridad la distancia real que hay entre las dos poblaciones. Si el resultado de tus cálculos es muy diferente de esta distancia, razona a qué se puede deber el error cometido. Recuerda que el error que importa es el relativo.
Tu comentario personal donde expliques con brevedad por qué has elegido esas poblaciones y cuáles son las razones de que las distancias en línea recta y por la ruta sean tan diferentes.
Nuestro instituto está muy cerca de la Alameda de Hércules y mucho de vosotros pasáis por ella todos los días. Pero, ¿conocéis cuál es el origen de esta gran plaza? En esta entrada de la página Explora Sevilla podéis leer la historia de uno de los rincones de Sevilla con más vida en la actualidad.
Nosotros nos vamos a fijar en los dos monumentos que sirven de pórtico de entrada por la zona sur a la Alameda, y que le dan nombre.
Imagen de elaboración propia
De estas esbeltas columnas nos preguntamos por su altura. ¿Cuánto medirán? ¿Qué podemos hacer para saberlo?
En los próximos días, en la hora de nuestra clase de matemáticas, nos acercaremos a la Alameda para hacer una foto con nuestros móviles, medir la altura del pedestal y, ya en clase, realizar unas últimas mediciones y cálculos necesarios para conocer la altura de nuestras columnas.
Una cuestión muy importante a la hora de hacer las fotos es que el móvil debe de estar perpendicular al suelo. Por ello es necesario que llevemos también una cuerda y un objeto que haga de peso, para así disponer de una plomada.
Ya veremos cómo los resultados que obtengamos no serán todos los mismos. ¿Qué ha podido ocurrir? ¿Qué hacemos? No debemos preocuparnos, la estadística nos echará una mano y nos ayudará a aproximarnos lo mejor posible a la altura exacta.
Razón, proporción, proporcionalidad directa o inversa, porcentajes. Todos estos conceptos los acabamos de trabajar en clase, pero ahora deseamos que los sitúes en la realidad y además relacionados con la figura de la mujer en la sociedad contemporánea.
Si se saben expresar los datos correctamente, las matemáticas, los números describen la realidad con bastante claridad.
En el reportaje se analizan los estudios universitarios que realizan las universitarias europeas. Recomendamos su lectura, pero vamos fijarnos en el siguiente párrafo.
Mirando los datos podemos comprobar cómo van disminuyendo los porcentajes de mujeres matriculadas en los diferentes tipos de estudios universitarios. Los números son claros, otra cuestión es preguntarse por los motivos y las consecuencias para el futuro de la mujer en Europa.
En esta entrada te vamos a pedir que busques una noticia de la prensa en internet en la que aparezcan porcentajes relacionados con el papel y la realidad de la mujer en la sociedad actual.
Tu trabajo debe incluir:
Una captura de pantalla del titular de la noticia que has elegido. En esta imagen debe aparecer escrito el porcentaje.
El enlace a dicha noticia.
Un comentario tuyo sobre qué te ha parecido la noticia, y la importancia que tiene el porcentaje en ella.
Puedes utilizar esta plantilla en Word o esta otra en Open Office para entregar la actividad.
Los temas que puedes elegir son muy diversos, hay alguno de ellos que están de mucha actualidad. Preferimos no nombrar ninguno, no queremos influenciarte, esperamos que seas a la vez curioso y original.
Terminamos con un vídeo que nos habla sobre los retos de las mujeres en el siglo XXI.
Thales de Mileto es considerado el primero de los Siete Sabios de Grecia, famoso grupo de ancianos a los que los antiguos helenos respetaban por su sabiduría.
Si no recuerdas qué dice el famoso Teorema de Thales, busca información sobre él en tu libro de texto o en internet. Infórmate también sobre qué quiere decir que dos triángulos estén en posición Thales.
Por ejemplo, en la imagen superior, los triángulos OAA' y OBB' se encuentran en posición Thales, ya que tienen un ángulo común (el del vértice O) y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos (AA' y BB').
Vas a utilizar todo lo anterior para calcular la longitud de una altura inaccesible. Eso sí, necesitas un móvil, una cinta métrica y una regla.
En la siguiente imagen te explicamos con más detenimiento cómo puedes hacerlo.
Tu objetivo es hallar la altura de la habitación (AC). Con una cinta métrica mide una altura accesible, por ejemplo la distancia a la que se encuentra el cuadro del suelo (AB). Haz una foto con el móvil teniendo en cuenta que debes colocarlo paralelo a la pared. Para esto último te puede ayudar un compañero.
Mide con una regla la imagen en el móvil de tu foto. Es decir, la distancia a la que se encuentra el cuadro del suelo (A'B') y la altura de la habitación (A'C').
Ahora aplica el Teorema ya que los triángulos OAC y OA'C' se encuentra en posición Thales. Con este procedimiento puedes calcular la altura de la habitación, o cualquier otra distancia inalcanzable.
Por eso, ahora te pedimos que utilizando una técnica similar a la anterior halles la altura de tu aula y de la pared del patio de tu instituto. Por supuesto, tendrás que acompañar tus mediciones y cálculos con un croquis donde expliques todo los que estás haciendo. Es preferible que hagas todo el trabajo en grupo de dos o tres compañeros. Eso sí, las explicaciones tienes que hacerlas de forma individual en tu cuaderno de trabajo. Por último, compara con otros grupos de compañeros si el resultado es similar, y analiza el por qué de las posibles diferencias.
Para terminar, volvemos a la pregunta inicial: ¿qué no hubiera hecho Thales con un móvil?
(Comentario didáctico: evidentemente, la idea de esta actividad es utilizar el Teorema de Thales en una situación cercana a los alumnos. El objetivo es que el aprendizaje sea práctico y no solo memorístico. En el desarrollo de la actividad se ponen en juego habilidades de todo tipo, no sólo matemáticas. Aprender a aprender, iniciativa personal son dos de las competencias que se intenta desarrollar con esta tarea, además de aspectos relacionados con la tecnológica y comunicación. Desde luego, es una buena oportunidad para evaluar las competencias claves de nuestro alumnado).
Abrir las puertas y ventanas de nuestras aulas, airearlas y llenarlas de realidad es una de las mejores iniciativas didácticas que se pueden realizar.
En la actualidad, con el uso de Internet es fácil hacerlo sin salir del aula, pero el contacto físico con el exterior es conveniente y enriquecedor. Hay que tener en cuenta que, ya a principios del siglo pasado, la Institución libre de Enseñanza, promovía el contacto con la naturaleza como parte importante de la formación del niño.
Desde hace tres curso que imparto la materia Ámbito Científico-Tecnológico del Programa de Diversificación de 4º ESO, he intentado visitar con los alumnos exposiciones y monumentos de la ciudad, con cierta asiduidad.
Pero en esta ocasión, la salida fue para investigar, utilizar la calle como recurso didáctico y los conceptos matemáticos como instrumentos de análisis de la actualidad.
Hace casi una década que las autoridades municipales decidieron peatonalizar dos de las calles principales del centro de Sevilla: San Fernando y la Avenida de la Constitución. Aquello, junto a la creación de una red muy importante de carriles bicis por toda la ciudad, supuso una disminución muy importante de coches y autobuses por el centro histórico de la ciudad.
Pero, desde hace unos años, y sobre todo con la aparición de multitud de terrazas de bares y restaurantes en estas dos calles, se ha puesto en duda que el peatón pueda caminar con tranquilidad por estas vías.
Decidimos aclarar si estas protestas tienen o no razón, fuimos a la calle San Fernando a tomar medidas y realizar cálculos para saber el porcentaje de dicha vía por el que un peatón puede caminar con toda tranquilidad.
Como paso previo, utilizamos Google Maps para "ver" y medir la calle que iba a ser objeto de nuestro estudio.
Imagen de la calle San Fernando, captura de Google Maps
Se puede apreciar en la imagen que la calle San Fernando es una vía rodeada de edificios históricos, como la sede del rectorado de la Universidad o los jardines de los Alcázares. Por lo que es una zona muy frecuentada por el turismo.
Tuvimos que realizar dos mediciones, ya que en la primera no habíamos preparado un croquis y ya en el aula comprobamos que las mediciones no eran correctas. Nos salió que la suma de las partes era mucho mayor que el total. En la segunda visita, nos preparamos un croquis detallado de las diferentes zonas de la calle que deseábamos medir.
Anotaciones de la primera medición
Anotaciones de la segunda medición
Como se puede apreciar en el segundo croquis, decidimos aproximar todas las formas mediante rectángulos o polígonos con sus ángulos rectos. También hay que destacar que la escala está deformada, ya que la calle mide unos 337 metros de largo y 24 metros de ancho. Para poder representarla en un A4, decidimos que la escala horizontal fuera 6 veces mayor que la vertical, es decir, en el croquis una medida en horizontal son seis veces la misma medida en vertical.
Las mediciones las hicimos con un metro que como máximo medía longitudes de 8 metros, y una cinta métrica prestada por el departamento de Educación Física, que permitía determinar longitudes de hasta 20 metros.
Los resultados obtenidos los representamos de forma esquemática de la siguiente manera:
En el esquema hemos dividido la calle en varias zonas: las peatonales, el carril bici, la plataforma por donde pasa el tranvía y donde están ubicadas las terrazas de los bares. Hemos diferenciado entre pasillo peatonal (al norte y sur de la calle), de las zonas que también son peatonales pero por las que no suelen pasear las personas. El motivo es variado y puede ser objeto de otro estudio. Sea cual sea la razón, los peatones caminan en su mayoría por los dos pasillos peatonales y también, en menor medida, por el carril bici.
Como hemos mencionado, según la herramienta de medición de Google Maps, la calle tiene 337 metros de largo por 23,5 de ancho, por tanto tiene unos 7919,5 metros cuadrados de superficie. La suma de las áreas de los pasillos peatonales es de 1694,5 metros cuadrados. Es decir un 21,3 % de la superficie total.
En esta otra imagen se puede ver el mismo esquema anterior con la misma escala para el ancho y largo de la calle. Los tonos naranjas corresponden al pasillo y zona peatonal.
Dejamos que el lector valore si el porcentaje es alto o bajo, y si las terrazas, el carril bici y el tranvía impiden o no el paseo de los ciudadanos por esta amplia calle.
Sólo destacamos dos cuestiones. La calle tiene poco arbolado, y la hilera de los más frondosos, los que más sombra crean, se encuentra justamente en la franja ocupada por las terrazas. Sevilla es una ciudad soleada y calurosa la mayor parte del año, por lo que se agradece el paseo por zonas de sombra.
Por otro lado, llama la atención el estrecho tramo peatonal que existe al principio del calle si se entra desde la Puerta de Jerez. De los 23,5 metros que mide de ancho, los peatones sólo pueden caminar por dos delgadas franjas de 2,5 y 1,5 metros respectivamente. Sobre todo es peligrosa esta última banda, la que está situada entre la plataforma del tranvía y el hotel Alfonso XIII.
El trabajo ha sido realizado por la alumna Rocío Zambruno, y los alumnos Rafael Buzón, Marcos Andaluz, Jorge Vázquez y Josué Caicedo de 4º C, de la asignatura Ámbito Científico Tecnológico del Instituto San Isidoro de Sevilla.
Por último, hacemos referencia a los aprendizajes desarrollados en esta actividad. Desde el punto de vista conceptual se han trabajado proporciones numéricas, porcentajes, escalas, medidas, cálculo de áreas de polígonos y control de errores. En lo que se refiere a competencias claves, además de la matemática, se han puesto en juego la de iniciativa personal, aprender a aprender, ciudadana, artística, digital y tecnológica.
(Excepto la captura de Google Maps, todas las imágenes son de realización propia).
A raíz de dicha visita, he querido poner la mirada en dos aspectos matemáticos de lo que allí vimos.
Por un lado, y dentro de la exposición sobre invertebrados, había expuesto un panel que enumeraba la cifra aproximada de especies que se han encontrado de diferentes tipos de organismos vivos.
Os propongo una tarea, que calculéis el número de especies de insectos que hay por cada especie de cada uno de los otros organismos, es decir: molúscos, protozoos, hongos, gusanos, vertebrados o crustáceos.
Por último, y en la exposición sobre geología, pudimos ver una línea del tiempo que se alejaba 540 millones de años hacia el pasado. Ese mismo día, apareció en el diario El País una noticia que informaba sobre un estudio que decía haber descifrado el antepasado común que compartimos con el resto de organismos vivos que poseen células con núcleos, los eucariotas.
Toda
la noticia es interesante, pero me quedo con el primer párrafo. En él
se hace un viaje al pasado y se mencionan las fechas en que los
antepasados de los humanos y otros organismos se separaron.
¿Alguien se atreve a dibujar una línea del tiempo a escala con esos datos?
A lo largo de la historia, observar el movimiento del Sol, la Luna y demás cuerpos que se desplazan por el cielo, ha sido uno de los motores que ha impulsado la creación científica de la humanidad.
Un bello ejemplo es el de la analema, la curva que describe el Sol si se le observa a lo largo de todo un año desde el mismo punto de la Tierra y a la misma hora cada día.
A veces no es el Sol lo que se observa y estudia, sino las sombras que produce sobre los objetos que nos rodean.
Es conocida la forma en que Eratóstenes, hace más de 2100 años, calculó el tamaño de la Tierra, utilizando tan sólo, su inteligencia y la observación de sombras.
A una hora determinada del día, en un mismo lugar de la Tierra, la relación que existe entre la altura de los objetos y las longitudes de las sombras que proyectan, es proporcional.
Utilizando lo anterior, te pedimos que determines la altura del árbol que aparece en la siguiente escena de GeoGebra.
Una vez hallada la altura del árbol, realiza una captura de pantalla de la escena, y le mandas un correo a tu profesor o profesora con la imagen y los cálculos que has realizado.
Ten en cuenta que, cada vez que entres en la escena, las medidas serán diferentes.
