10 de mayo de 2020

El universo mecánico

Tengo la osadía de tomar prestado el nombre de la famosa serie de vídeos científicos para titular esta entrada del blog: El Universo Mecánico.

El motivo no es otro que la magnífica secuencia de fotos publicadas en twitter por Raül Fernández.

Enlace a la imagen publicada en Twitter por @raulf

En ella se puede ver la salida del Sol en trece tomas realizadas a lo largo de un año, de diciembre a diciembre. El motivo de que sea la salida es porque, si miramos hacia el este, en diciembre es cuando el Sol sale más próximo al sur (más a la derecha), en tanto que en junio la salida es más cercana al norte (más a la izquierda).

En esos dos momentos se marcan, como indican las fotos, los solsticios de invierno y verano respectivamente. En tanto que en marzo y septiembre, cuando el Sol sale justamente en el punto medio de los extremos anteriores, se marcan los equinoccios de primavera y otoño.

Lo de universo mecánico viene muy al caso con esta secuencia de fotos, porque el movimiento del Sol es justamente el de un péndulo que oscila incansablemente de norte a sur y viceversa con el transcurso de los años. De hecho, el término solsticios viene del latín, "solstitium", que no quiere decir otra cosa que "sol quieto", que es el efecto que produce el péndulo cuando alcanza uno de los extremos en su oscilación, parece quedarse quieto por un instante.

Desde la antigüedad, la mayoría de las civilizaciones que basaron su calendario en los movimientos del Sol, fueron conscientes de este movimiento pendular. Y lo fueron por motivos prácticos, claro. Para saber, entre otras razones, cuándo tenían que llevar a cabo las distintas labores relacionadas con la agricultura. Por ejemplo, la siembra o la cosecha.

Observar, analizar, crear modelos y conjeturar. Rasgos propios del método científico.

Veamos la secuencia de fotos en horizontal.


Si unimos mentalmente los puntos que representan al Sol en el instante de salir podemos dibujar en nuestra mente una curva que en matemáticas se llama sinusoide.

En esta imagen podemos ver la sinusoide que corresponde a la gráfica de la función seno, f(x)=senx.


Haciendo algunos cambios, la curva anterior la podemos ir transformado hasta ajustarla a la curva imaginaria de nuestra secuencia.


La fórmula de dicha gráfica, lo que a los profesores de matemáticas nos gusta llamar la expresión analítica, aparece escrita debajo.

Muchísimos otros fenómenos de la naturaleza se adaptan a estas curvas, las horas de Sol al día, el coeficiente de las mareas, la luminosidad de la Luna... Y, claro, la luz, el sonido, cualquier otro tipo de ondas, no son más que un juego fantástico de senos y cosenos.

Lo que dijimos al principio, el universo mecánico.

9 de marzo de 2020

¿Estás seguro de lo que ves? Anamorfismos

¿Estás seguro de lo que ves? ¿Te engaña la vista? Disfruta de estos dos vídeos y puede ser que cambies de opinión.



 

Los dos vídeos nos muestran ilusiones ópticas  muy elaboradas, con grandes medios tecnológicos y humanos, en las que entran en juego las matemáticas y las artes visuales.

Nosotros somos más humilde y vamos a realizar una ilusión óptica más sencilla y apoyada sobre todo en las matemáticas, vamos a hacer una anamorfosis.

Aquí te mostramos nuestro resultado y a continuación te explicaremos cómo lo hemos hecho, por si tú quieres llevarlo a cabo.


En primer lugar veamos con brevedad las matemáticas que ahí detrás. Hemos realizado una proyección desde un punto de un cuadrado sobre un plano. En la siguiente imagen, realizada con GeoGebra 3D, se puede ver mejor.


El punto desde el que se realiza la proyección es el negro, tiene de coordenadas: (-3, 0, 1.5). El cuadrado es el rojo, está situado en el plano YZ, sus vértices tienen coordenadas (0, -0.5, 0), (0, 0.5, 0), (0, 0.5, 1) y (0, -0.5, 1). La proyección del cuadrado se realizar sobre el plano XY y tiene como resultado el trapecio naranja, sus coordenadas son (0, -0.5, 0), (0, 0.5, 0), (6, 1.5, 0) y (6, -1.5, 0).

Traducido al mundo real, el observador del anamorfismo se sitúa a tres metros de la construcción y la mira aproximadamente a un metro y medio de altura. El cuadrado (imaginario), tiene un metro de lado y se encuentra al pie de la construcción que se realizará en el trapecio que tiene como dimensiones: un metro de base menor, tres metros de base mayor y seis de altura. Por lo tanto, para que todo salga bien necesitamos un espacio de al menos nueve metros de largo por tres de ancho.

A continuación, dividimos el cuadrado en una cuadrícula 8x8, lo que implica compartimentar el trapecio en una división proyectada similar. Veamos en esta otra imagen cómo queda.


Ahora sólo tenemos que representar en la cuadrícula del cuadrado el motivo o figura que deseamos representar y llevarla transformada a la división que hemos obtenido en el trapecio.

Aquí puedes ver el diseño de nuestro cubo en el cuadrado.


Y su transformada en el trapecio, que es el que tendremos que representar en el suelo.

Para facilitar tu trabajo te dejamos a continuación las plantillas del trapecio, el cubo y la silla.

En primer lugar, la plantilla de la retícula del trapecio, con su medidas en metros. En el metro de la base inferior tendremos que marcar siete puntos con esas distancias. En la base superior otros siete puntos con esas otras distancias. Y las distancias de la altura se refieren a eso, a la altura del trapecio, no a la longitud del lado.


Aquí tienes cómo quedaría la plantilla para dibujar el cubo.


Como puedes ver, se han numerado las marcas de los lados y las longitudes se han escrito en centímetros. Esto mejora el procedimiento de construcción. Insistimos, las longitudes de los lados se refieren a las marcas de la altura del trapecio, es decir del segmento central. Lo decimos porque el dibujo puede llevar a confusión.

Por último, dejamos la plantilla de la silla. Ahora sin numerar.


Para terminar, damos una consejos prácticos para hacer la construcción. Nuestra experiencia nos dice que lo mejor es utilizar cinta de carrocero tanto para construir el trapecio como la figura.

Nosotros empezamos representando la base menor, marcamos los puntos a la distancia indicada. Seguidamente representamos también con cinta carrocera la altura sobre el punto medio de la base. Marcamos los puntos con las distancias. Y a continuación construimos la base mayor con su marcas.


En la imagen superior se pueden ver los tres segmentos anteriores ya representados en el suelo.

A continuación, con un hilo fuerte señalados los dos lados laterales y en ellos vamos marcando con rotulador en el suelo los puntos correspondientes. Para ello es importante disponer de una escuadra o similar, ya que al unir los puntos que están a la misma altura de cada lado, el segmento debe ser perpendicular a la altura.

Marcados los lados y las bases, se colocan dos personas con un hilo tenso a cada lado de los lados y otras dos personas con otro hilo tenso a cada lado de las bases. El objetivo es ir marcando en el suelo los puntos de la construcción. Nosotros colocamos un trozo pequeño de cinta para señalar dichos puntos.

Una vez hecho esto, se construyen los segmentos que definen la figura.


Últimos consejos para que el anamorfismo quede bien. Las lineas más alejadas del observador se deben poner más gruesas, por ejemplo, la del respaldo superior de la silla tiene un ancho de tres cintas. Y en los segmentos que se alejan, también es conveniente ir ensanchando el grosor superponiendo cintas.

Cuando se termina, el observador se colocará a tres metros de la base del trapecio y, con un móvil se verá estupendamente el efecto. Con nuestra vista se aprecia mucho peor, ya que nuestra mirada tiene una visión panorámica al ser es con dos ojos, en tanto que el objetivo del móvil hace de foco único, el citado punto negro.


Te animo a construir tus anamorfismos. Seguro que te quedarán magníficos. Y si tenéis cualquier duda, no dudes en consultarme.

27 de febrero de 2020

Representación gráfica de la media y la desviación típica

En la siguiente escena de GeoGebra se representan gráficamente la media y la desviación típica de una distribución estadística. Las frecuencias absolutas de los datos se pueden cambiar deslizando los puntos rojos situados en la parte superior de cada una de las barras del diagrama.

De forma automática, la media y el entorno de centro esa media y radio la desviación típica, se moverán ajustándose a los cambios que se hagan en las frecuencias absolutas.

El objeto de la escena es invitar a la reflexión sobre cómo influyen la variación de las frecuencias en la posición de estos parámetros estadísticos y en la amplitud del entorno por ellos definido, así como la proporción de datos que están dentro de este entorno.



Esperemos que trabajar con la escena sea utilidad a la hora de comprender el significado de la media y desviación típica de una distribución estadística.


3 de febrero de 2020

¿Qué hacemos este 11 de febrero?

Sí, sí, está bien escrito. El 11 de febrero, no el 14, que está dedicado a otro asunto. Ahora no me acuerdo a cuál.

Quizás no sepas que el 11 de febrero está declarado por la ONU como el Día de la Mujer y la Niña en la Ciencia.  Y nosotros vamos a recordar esta fecha con la lectura de un cómic dedicado a la vida y obra de cinco mujeres científicas.


En este enlace puedes descargarte y ver el cómic que está publicado por la Unidad para la Igualdad de la Universidad de Sevilla.

En primer lugar, te invitamos a que disfrutes de su lectura con mucha atención y sin prisas. Léelo de pe a pa, mira quiénes son los autores, cómo se fue elaborando la idea y qué personas participaron en su creación.

A continuación, responde las siguientes cuestiones.
  1. ¿Cómo surge la idea de hacer el cómic?
  2. Elabora una línea del tiempo en la que aparezca cada una de las científicas del pasado de las que se habla en el cómic. Indica la fecha en que vivieron, el lugar dónde nacieron y en el que realizaron su carrera de investigadora.
  3. Menciona de cada una de ellas alguna dificultad a la que tuvieron que enfrentarse para desarrollar su vida como científica. ¿Encuentras alguna relación entre estas adversidades? Si es así, indica cuál y explica qué opinas al respecto.
  4. De cada científica, cita el trabajo o descubrimiento que más te ha gustado de ella.
  5. ¿Cuál de ellas te ha caído mejor? Explica por qué.
  6. Por último, escribe el nombre de las investigadoras de la universidad de Sevilla que representan en la obra de teatro a las científicas del pasado. Indican cuál es su formación y a qué se dedican en la actualidad.
Una vez contestadas las preguntas, envíaselas a tu profesor o profesora por correo electrónico en un documento de texto, o si prefieres, hazlo a mano y se lo entregas en clase.


30 de septiembre de 2019

ESO. Intervalos que nos hablan de la crisis climática

Empezamos el nuevo curso con una entrada muy pegada a la actualidad. En el mes de septiembre de este año 2019, Naciones Unidas ha convocado la Cumbre para la Acción Climática 2019


Como dice el anuncio anterior, aún estamos a tiempo de ganar esta carrera contra la crisis climática mundial.

El primer paso para solucionar un problema es ser conscientes de que existe. La precisión y sencillez que poseen las matemáticas para el estudio de datos numéricos, son unas magníficas gafas con las que mostrar a los miopes intencionados o ignorantes de la grave situación a la que nos enfrentamos.

Nosotros utilizaremos los intervalos de números reales para estudiar cómo han evolucionado las temperaturas en Sevilla en el transcurso de las últimas décadas.

Por un lado, acudiremos a la página de la AEMET para conocer los resúmenes climatológicos mensuales en España.

En al imagen inferior puedes ver un gráfico del resumen del mes de mayo de 2019.


En ella se comparan las temperaturas medias en España en mayo de 2019 con las del mismo mes en el periodo 1981-2010. Debajo se definen los intervalos de variación y a la derecha del mapa se asocia a cada uno de esos intervalos un color.

Por ejemplo, el color que corresponde a las siglas MC = Muy cálido, quiere decir que la temperatura media en mayo de 2019 está en el intervalo del 20% de las más cálidas entre los años 1981-2010.

Por otro lado, nos iremos a la página Tu tiempo.net para conocer el histórico de temperaturas medias en ciudades de España en esos años.

En la imagen inferior puedes ver la temperatura media del mes de julio en Sevilla del año 2004.


Una vez seleccionadas la ciudad, el año y el mes del que deseamos conocer la temperatura media, nos fijamos en el final de la segunda columna, es decir en la media mensual (T) de las temperaturas medias diarias. En la imagen anterior la hemos señalado con una flecha.

Haciendo uso de las páginas anteriores te proponemos la siguiente tarea: comprobar si son correctos los mapas de resúmenes climatológicos mensuales que publica la AEMET.

Pero no te preocupes, sólo tendrás que comprobarlo para Sevilla y en un mes que tú elijas.

Para hacer tu trabajo tienes que dar lo siguientes pasos:
  1. Elige un mes de entre los que aparecen en el resumen de la AEMET. No tiene porque ser del año 2019.
  2. Busca en la página Tu tiempo.net las temperaturas medias de Sevilla (Aeropuerto) en el mes elegido y en el intervalo que indica el resumen que has elegido.
  3. Organiza los datos obtenidos y realiza los cálculos necesarios para comprobar si el color del mapa pertenece al intervalo correcto.
  4. Realiza un informe a mano o digital donde se recojan las actuaciones anteriores. En dicho informe debes incluir una breve reflexión en la que expreses tu opinión sobre la crisis climática, basada sobre todo en los datos y el mapa que has utilizado en este trabajo.
  5. Entrega a mano o envía por correo electrónico el informe a tu profesor o profesora.
Y, no olvides, aún estamos a tiempo de ganar esta carrera. Nuestra actitud es fundamental.

6 de mayo de 2019

ESO. Función de proporcionalidad inversa: fórmulas y gráficas

En esta entrada presentamos dos escenas de GeoGebra en las que se trabajan las funciones de proporcionalidad inversa.

Podemos afirmar que estas funciones ocupan el tercer puesto en el estudio de las funciones elementales de las matemáticas en la educación secundaria. ¿A quién asignarías las medallas de oro y plata?

Y bien que se merecen estar en el podio ya que aparecen en muchos procesos físicos y químicos. Por ejemplo, en la famosa relación entre masa, densidad y volumen.

El objetivo de las dos escenas es relacionar la expresión analítica y la gráfica de esta clase de funciones.

Como solía decir un catedrático de universidad en mis años de facultad: las matemáticas no son más que la ciencia de las relaciones. Pues eso, relaciona, relaciona fórmulas y gráficas de la función de proporcionalidad inversa.




4 de mayo de 2019

PROYECTO. ¿Nos echamos un monólogo matemático?

En este proyecto de trabajo trimestral la voz la tienes tú. La voz y si quieres, la imagen.

La propuesta de trabajo consiste en que grabes un audio o vídeo de entre uno y dos minutos en el que divulgues y expliques con humor y de forma amena algún contenido que has trabajado a lo largo del trimestre.

Aquí te dejamos dos ejemplos del canal de YouTube Derivando del conocido y genial divulgador de las matemáticas Eduardo Sáenz de Cabezón.




¿Has visto cómo expone cuenta las matemáticas? Casi todas las ideas que expone las has trabajado este trimestre. Algunas de ellas son conceptos áridos, pero cuando él lo cuenta parecen más amenos. Y de este modo consigue su objetivo: que se despierte la curiosidad y el deseo de saber más en las personas que no conocen la materia.

Pues eso es lo que te proponemos, que elijas un concepto de los estudiados este trimestre y lo divulgues en un breve audio de entre uno o dos minutos de duración.

Es conveniente que en primer lugar escribas un guión de lo que vas a contar y que una vez hecho esto, lo leas varias veces hasta que lo cuentes con soltura. A continuación, realiza la grabación con tu móvil y se la envías a tu profesor o profesora.

En el caso de que elijas hacer un vídeo, si eres menor de edad, debes disfrazarte para que no se te reconozca. Ponerte un bigote postizo o una máscara, por ejemplo. Estos elementos también pueden formar parte de tu interpretación.

Lo dicho: ¿nos echamos un monólogo matemático?

2 de mayo de 2019