2º ESO. Dibujo oculto: primeros pasos con polinomios

En esta entrada presentamos una actividad, un pasatiempo en el que trabajaremos algunos de los conceptos iniciales relacionados con los polinomios, así como las primeras operaciones que se pueden efectuar entre ellos.

Realiza las operaciones necesarias para contestar estas preguntas:

1. Grado de x⁴ + x³ – 2x + 1.
2. Término independiente del polinomio anterior.
3. Grado del monomio que resulta al multiplicar 4x² · 5x⁷.
4. Coeficiente del producto anterior.
5. Grado de la suma x³ + 2x² +x – 5 – x³ + x² – 4x + 8.
6. Término independiente de la suma anterior.
7. Grado del monomio que resulta al hacer la división  45x¹¹ : 5x⁷.
8. Coeficiente de la división anterior.
9. Valor numérico de sustituir x = –2 en x⁴ + x³ – 2x + 1.
10. Coeficiente del término de grado 5 del polinomio que resulta del producto x² · ( x⁴ + x³ – 2x + 1).
11. Coeficiente del término de grado 1 que resulta de la potencia (x + 4)².
12. Término independiente de la potencia anterior.
13. Coeficiente del término de grado 2 que resulta de la potencia (2x – 3)².
14. Término independiente de la potencia anterior.
15. Coeficiente del término de grado 2 que resulta del producto (x + 2) · (x – 2).
16. Grado del polinomio que resulta del producto (x² + 3) · (x² – 3).
17. Término independiente del producto anterior.

En esta imagen hay 17 polígonos, cada uno está asociado a la correspondiente pregunta anterior. Colorea los polígonos en los que la respuesta haya sido un número par.

¿Qué figura se oculta entre tantos polígonos?

(En este enlace puedes descargar la actividad).

8 de marzo. Cifras que valen por miles de palabras: 16784 pasos

Hoy es 8 de marzo y desde este blog escolar no podemos estar ajenos a una día tan importante. Además, este año, el Día Internacional de la Mujer tiene un tono reivindicativo más acusado, si eso es posible.

Esta entrada no es una tarea, o un recurso, ni un proyecto de trabajo, ni tan siquiera una escena de GeoGebra con la que intentamos facilitar el aprendizaje de las matemáticas.

Con esta entrada queremos solidarizarnos con las mujeres, y pienso en mis alumnas, compañeras de profesión, estudiantes universitarias, investigadoras científicas, que de alguna manera están en contacto con las matemáticas.

En el siguiente vídeo se realiza una describe con crudeza una situación laboral, la de las mujeres que trabajan como camareras en la limpieza de hoteles. Y en ellas se utilizan muchas cifras, números, porcentajes.

Esos datos expresan con toda claridad la injusticia: 20 habitaciones, 40 camas por día; 100 kilos de peso; menos de 12 minutos por habitación; 90% con trastorno musculoesquelético, 96% con ansiedad; en 4 horas 12 kilómetros y 16784 pasos; de 2 a 3 euros por habitación...



Nos gusta que el lenguaje matemático sea un buen instrumento para la reivindicación.

PROYECTO. Torre del Oro, un monumento con mucha(s) cara(s)

Este blog se escribe desde Sevilla, ciudad del sur de España. Capital andaluza con una larga historia que siempre ha estado unida a del río que la cruza, el Guadalquivir.

Imagen de Daniel Villafruela, con licencia CC

Uno de sus monumentos más conocidos es la Torre del Oro. Este torreón se encuentra ubicado en la orilla del río y hasta mediados del siglo pasado atracaban a sus pies los barcos que bajaban hacia la desembocadura, en Sanlúcar de Barrameda.

Esta famosa torre va a ser la protagonista de nuestro proyecto de trabajo. El problema que tenéis que resolver es muy fácil de explicar: ¿cuántas caras se ve de ella en función de donde nos situemos a contemplarla?

Por ejemplo, en la fotografía anterior se pueden ver cinco caras. En la siguiente secuencia de imágenes podemos observar cómo el número de caras visibles va cambiando.

	Imágenes de elaboración propia

¿De qué depende el hecho de que sean visibles más o menos caras? Esa es la cuestión a resolver. Y la trigonometría básica permiten dar una respuesta exacta a esa pregunta.

Es un trabajo para realizar en grupos de tres o cuatro compañeros.

El trabajo debe incluir:

1. Diario de actuaciones, donde se describa cómo se va desarrollando el trabajo (10%).
2. Interés de las preguntas y dudas planteadas al profesor, encaminadas a la resolución del problema (20%).
3. Documento donde se especifiquen las medidas tomadas, cálculos realizados, dibujos o croquis explicativos, y la solución precisa, así como cualquier otra acción que hayáis realizado (50%).
4. Evaluación del proyecto, con indicación de lo que pensáis que habéis aprendido (10%).
5. Documento de texto o presentación en donde se recojan los tres puntos anteriores (10%).

Este último documento o presentación es el producto final que debéis enviar por correo electrónico a vuestro profesor.

Todos estos puntos serán tenidos en cuenta a la hora de la evaluación de vuestro trabajo. Como se recoge en los criterios de evaluación, siempre que lo necesitéis podéis consultar vuestras dudas con el profesor a través del correo electrónico o directamente en clase, en las horas fijadas para ello.

Por último, aquí os dejamos una escena de GeoGebra que os puede ayudar a entender, analizar y resolver vuestro trabajo.


(Comentario didáctico: en esta entrada se presenta un proyecto de trabajo en el que se intenta que el alumnado ponga en juego la mayoría de las competencias claves: comunicación, matemática, científica y tecnológica, digital, aprender a aprender, iniciativa y espíritu emprendedor, así como actitudes para el trabajo colaborativo. Creemos necesario que la calificación de este trabajo implique un porcentaje significativo en la evaluación global del alumno).

3º ESO. ¡Achís! Gráficas alérgicas.

Las alergias a los pólenes están en aumento. Cuando llega la floración de las diferentes clases de plantas, gran parte de la población se instala en el estornudo continuo y otros tipos más o menos serios de salud.

Para un alérgico es importante saber a qué tipo de polen se es sensible y la tasa de presencia en el aire. La Sociedad Española de Alergología e Inmunología Clínica (SEAIC), tiene una página en internet donde se publican estos valores en toda la geografía española para una gran variedad de pólenes.

En ella podemos seleccionar la zona geográfica, el tipo de polen y la fecha que deseamos conocer. En esta gráfica hemos elegido la estación de Sevilla- Hospital Macarena, las semillas de gramíneas y el mes de mayo de 2017.

Como se puede ver, el eje horizontal aparecen los días del mes y en el vertical el número de granos de polen por metro cúbico. 

La gráfica nos plantea varios interrogantes. El más inmediato, ¿a qué se deben los cambios drásticos que aparecen en ella? 

Uno de los motivos está relacionado con el tiempo meteorológico. En la página TuTiempo.net. podemos encontrar, entre otros recursos, un historial del clima de muchas ciudades españolas. Por ejemplo, en este enlace podemos acceder a todos los datos climatológicos de la ciudad de Sevilla en ya citado mes de mayo de 2017.

Te pedimos que te fijes en cómo variaron las precipitaciones diarias en ese mes. Es decir, que construyas la gráfica de la función que relaciona los días del mes con los milímetros cúbicos de lluvia caídos cada día. Una vez hecho esto, debes estudiar si existe alguna relación entre el nivel de polen de las gramíneas y las precipitaciones. Elabora un informe con tus conclusiones.

A continuación, selecciona otro tipo de polen para la misma ciudad y mes, y estudia si la variación también está influenciada por las precipitaciones de lluvia.

Por último, analiza si hay algún otro factor climatológico que influye en la cantidad de polen en el aire.

2º BTO. Indiana Jones a la búsqueda del área perdida

Conocer el área encerrada por una curva ha sido uno de los retos a los que la humanidad se ha enfrentado desde la antigüedad. El genial sabio griego Arquímedes es uno de los protagonistas destacados de este desafío, pero son muchos más los que intervinieron en su solución.

Newton se subió a hombros de muchos de sus antecesores para crear, casi a la par que su rival Leibniz el cálculo infinitesimal. Magnífica herramienta teórica para el cálculo de áreas. Pero tuvo que transcurrir más de un siglo hasta que Riemann aportó su granito con la integral que lleva su nombre.

En este vídeo podemos acercarnos de forma visual e intuitiva a la idea que tuvo el matemático alemán.

Pero esta historia no acaba con Riemann, tuvo que ser Lebesgue el que diera carpetazo formal y riguroso al hasta en ese momento eterno problema del área. Su formidable idea de definir la medida parece haber agotado definitivamente el reto.

Como se puede apreciar, esta cuestión de calcular el área es un misterio digno de Indiana Jones.

Si quieres saber mucho más sobre la cuestión del área, puedes leer el libro de el catedrático de Análisis Matemático de la Universidad de Sevilla, Antonio José Durán, titulado "Historia, con personajes,  de los conceptos del cálculo".

2º ESO. Proporcionalidad: mujeres y números

Razón, proporción, proporcionalidad directa o inversa, porcentajes. Todos estos conceptos los acabamos de trabajar en clase, pero ahora deseamos que los sitúes en la realidad y además relacionados con la figura de la mujer en la sociedad contemporánea.

Si se saben expresar los datos correctamente, las matemáticas, los números describen la realidad con bastante claridad.

Un ejemplo lo tenemos en la esta noticia publicada por el diario ABC el 8 de marzo de 2015, ¿Qué estudian las mujeres de hoy?

En el reportaje se analizan los estudios universitarios que realizan las universitarias europeas. Recomendamos su lectura, pero vamos fijarnos en el siguiente párrafo.

Mirando los datos podemos comprobar cómo van disminuyendo los porcentajes de mujeres matriculadas en los diferentes tipos de estudios universitarios. Los números son claros, otra cuestión es preguntarse por los motivos y las consecuencias para el futuro de la mujer en Europa.

En esta entrada te vamos a pedir que busques una noticia de la prensa en internet en la que aparezcan porcentajes relacionados con el papel y la realidad de la mujer en la sociedad actual.

Tu trabajo debe incluir:

• Una captura de pantalla del titular de la noticia que has elegido. En esta imagen debe aparecer escrito el porcentaje.
• El enlace a dicha noticia.
• Un comentario tuyo sobre qué te ha parecido la noticia, y la importancia que tiene el porcentaje en ella.

Puedes utilizar esta plantilla en Word o esta otra en Open Office para entregar la actividad.

Los temas que puedes elegir son muy diversos, hay alguno de ellos que están de mucha actualidad. Preferimos no nombrar ninguno, no queremos influenciarte, esperamos que seas a la vez curioso y original.

Terminamos con un vídeo que nos habla sobre los retos de las mujeres en el siglo XXI.

FELIZ NAVIDAD: felicitaciones fractales

Como en años anteriores os deseamos desde SALAXYZ una Feliz Navidad, y como en otras ocasiones queremos que las matemáticas tengan su protagonismo en dichas felicitaciones.

Al igual que el turrón, los fractales vuelven a casa por Navidad.

Hasta hace unos años se acostumbraba a felicitar estas fiestas con una tarjeta navideña, y eso es lo que vamos a proponer que hagáis, una tarjeta donde los fractales hagan acto de presencia.

En el siguiente vídeo puedes ver cómo se construye nuestra tarjeta. En él se explican los pasos que tienes que ir dando. Las explicaciones son en inglés, pero se entienden con facilidad.

En estas imágenes podemos ver el resultado de los tres primeros pasos que se indican en el vídeo.

Nuestro objetivo es llegar al tercer paso, este será el que nos sirva como tarjeta de felicitación navideña. Como se puede observar en las fotos, por detrás de cada construcción hemos pegado una cartulina, en este caso de color rojo. 

Dejamos en tus manos los colores a elegir, así como la decoración que quieras darle.

Este es un blog de matemáticas escolares y por tanto no podemos dejar de mencionar alguno de los contenidos que se pueden trabajar con las sucesivas iteraciones.

En primer lugar resaltar su estructura fractal, es decir, ver cómo en cada paso se repite el modelo del primer módulo: construir un prisma recto de base rectangular en el diedro determinado por los planos que se forman al doblar el folio. 

Las potencias aparecen al preguntarnos sobre cuántos prismas aparecen en cada nuevo paso, y cuántos hay en total. O cuál es el volumen de cada uno de esos diedros y la suma de todos ellos.

Las fracciones, sucesiones y límites también hacen su aparición cuando nos interrogamos sobre la altura que va alcanzando la estructura fractal si la comparamos con la altura del folio sobre el que se apoyan. O si nos planteamos la superficie de papel que se va "separando" de ese folio de apoyo.

En algunas de las cuestiones planteadas hace su aparición el concepto de límite y aunque parezca prematuro trabajarlo en secundaria, el hacerlo de una forma manipulativa, visual e intuitiva, puede ayudar a una formalización necesaria en cursos posteriores.

Para terminar, repetimos nuestra felicitación y dejamos aquí nuestro particular árbol de Navidad fractal.

JUEGO. Adivina, adivinanza: potencias de dos ocultas.

Compartimos aquí una escena de GeoGebra en la que se simula un truco de magia clásico con tarjetas. Juega unas cuantas veces y, en el caso de que no lo conozcas, intenta descubrir cómo es posible que siempre acierte.

Aunque no lo parezca, las matemáticas son el fundamento del truco. Las potencias de dos, el sistema binario de 0 y 1 y asociar imágenes a números son los factores que intervienen en la adivinación. Intenta adivinarlo. ¿Te atreves?