2º ESO C. Fracciones en la prensa II

Hace un año publicábamos una entrada en este blog titulada "Dos de cada tres, fracciones en los titulares de la prensa". En ella mostrábamos dos respuestas dadas por los chicos y chicas de 2º ESO a la propuesta de que buscaran titulares de prensa en los que de forma implícita aparecieran mencionadas fracciones.

Este curso os hemos vuelto a plantear el mismo trabajo. Pero se ha introducido la novedad de que la noticia estuviera publicada en medios digitales, además era conveniente realizar un breve comentario sobre ella.

Las noticias que habéis elegido están, en su mayoría, relacionadas con temas sociales, económicos o de salud. Creo que son temas interesantes, algunos de mucha actualidad. Y lo que es más importante, vuestros comentarios pienso que son sinceros y bien justificados.

A continuación, podéis ver la presentación que he elaborado con todas vuestras aportaciones. El orden en que están colocadas depende de... Eso os lo dejo a vosotros. Es fácil, a ver si adivináis el orden en que las he puesto.

2º ESO C. Arriba y abajo: sumas y restas sencillas con números enteros.

Las tablas de sumar son fáciles de aprender. La cosa se complica cuando aparecen las restas, y sobre todo cuando tenemos que restar a un número otro mayor que él. Y, el más difícil todavía, si restamos dos números negativos.

Las dos escenas que presentamos a continuación tienen la intención de interpretar este tipo de operaciones como subidas o bajadas en una escalera numérica.

En la primera de ellas no tienes que manipular ningún elemento, sólo mirar y entender lo que se hace. En la segunda sí tienes que trabajar. Se te pide que realices una operación entre números enteros moviendo los puntos de la forma que se va indicando.

Ya sabes, tienes que hacer seis capturas de la segunda escena con operaciones diferentes y mandármelas por correo.

Esperemos que no te canses mucho de tanto subir y bajar escaleras.

ESO. Una mirada geométrica al MCD y mcm

¿Qué es más importante entender lo que significan el MCD y el mcm, o saber calcularlos? Esa pregunta la planteábamos el otro día en clase.

Algunos pensabais que es preferible conocer los pasos para obtenerlos, y otros que lo mejor es darse cuenta de lo que significan. Yo creo que... 

Pero, en vez de dar mi opinión, os dejo aquí las dos escenas de GeoGebra que hemos trabajado estos días en el aula. En ellas se trabajan los dos aspectos que hemos mencionado: entender y calcular.

Ya sabéis, tenéis que hacer cada una tres veces, realizar seis capturas de pantanllas y mandarme los resultados por correo electrónico o copiar las escenas en vuestro cuaderno de trabajo. Dejo a vuestro criterio una u otra opción.

Espero vuestras respuestas.

2º ESO C. Divisibilidad: contando puntos.

En primer lugar, bienvenidos al nuevo curso.

Para empezar, una sencilla actividad que nos ayudará a recordar algunas ideas sobre divisibilidad de números naturales

Nuestra intención es facilitar el recuento de los puntos que hay en cada uno de estos cuatro montones.


Sin pararte mucho en cada uno de ellos, ¿sabías decir cuántos puntos hay en cada grupo?

Copia y contesta en tu cuaderno de trabajo las siguientes preguntas.

1. ¿Qué crees que puedes hacer para que el recuento sea más fácil?
2. Ordena cada montón de forma que sea sencillo ver cuántos puntos hay en cada uno de ellos. Explica con tus palabras cuál es tu idea para facilitar el recuento de puntos.
3. Busca diferentes agrupaciones para cada uno de los montones, y cópialas también en tu cuaderno.
4. ¿A qué crees que es debido a que algunos montones se puedan agrupar de más formas que otros?

¿Es fácil, no? Es una buena forma de iniciar el camino de este nuevo curso.

2º ESO C. Rompecabezas de triángulos

En la escena de GeoGebra inferior contiene cuatro triángulos. Todos se pueden desplazar y si se actúa sobre el punto rojo, girar.

Contesta las siguientes cuestiones en tu cuaderno de trabajo, teniendo en cuenta que el lado menor de todos los triángulos mide 5 cm. Por supuesto, acompaña tus respuestas de los dibujos, cálculos y razonamientos que creas necesarios, para justificarlas.

a) Clasifica los cuatro triángulos teniendo en cuenta sus lados y ángulos.

b) Construye todos los cuadriláteros que puedas, utilizando los cuatro triángulos. Indica qué tipo de cuadriláteros son. Halla los ángulos, el perímetro y el área de cada uno de ellos.

c) ¿Qué tienen en común todos los cuadriláteros que has construido?

c) Construye todos los triángulos posibles utilizando dos, tres o los cuatro triángulos. Clasifícalos. Determina también las longitudes sus lados, las medidas de los ángulos, el área y el perímetro.

d) ¿Alguno de los triángulos del apartado anterior, son semejantes a los triángulos pequeños originales de la escena?

2ºESO C. A la sombra de Thales: altura de un árbol.

Ahora que llega el verano, qué mejor lugar que la buena sombra de un árbol.

Pero, no solo podemos refrescarnos con ella, también nos puede ayudar a calcular su altura. Por supuesto, con la ayuda inestimable de Thales.

En esta escena te proponemos que lo hagas. Copia la escena en tu duaderno de trabajo y resuelve el problema planteado, al menos tres veces.

Aunque la escena permite saber la solución, no la compruebes hasta que hayas realizado por tus propios medios. Te sentirás más orgulloso de ti.

2º ESO C. Ángulos y triángulos.

En esta entrada vamos a estudiar la clasificación de los triángulos por sus lados y ángulos.

Utilizaremos una escena de GeoGebra para refrescar algunas cuestiones básicas relacionadas con ángulos.

Contesta en tu cuaderno de trabajo las preguntas que aparecen a continuación.

• Mueve el punto verde y observa cómo cambian sus elementos. Copia la figura de la escena, y escribe el nombre de los objetos geométricos que aparecen en ella.
• ¿Cuánto suman los cuatro ángulos?
• ¿Cómo son los ángulos opuestos por el vértice? Así se llaman: ángulos opuestos.
• ¿Cuánto suman dos ángulos consecutivos de la figura? Ese es el nombre, ángulos consecutivos.
• ¿Cuánto vale cada uno de los ángulos cuando los cuatro son iguales? ¿Qué nombre propio reciben este tipo de ángulos?

Ahora pasamos a clasificar los triángulos. Volvemos a ayudarnos de una escena de GeoGebra para resolver en tu cuaderno la actividad que se plantea más abajo.

Dibuja en las casillas en que sea posible un triángulo con las características que se indican, tanto en lo que hace referencia a sus lados como a sus ángulos.

En cada uno de ellos tienes que decir cuál es la longitud de sus lados y el valor de sus ángulos. Si en alguna casilla no es posible dibujar ningún triángulo, tienes que explicar la razón.

2º ESO. Función lineal 2: pendiente y ordenada en el origen.

Cuando se estudia la función lineal es fundamental reconocer el papel que desempeñan sus dos parámetros: la pendiente y la ordenada en el origen.

Recuerda, la pendiente expresa la inclinación de la recta. Si la pendiente es positiva, la recta es creciente, en tanto que si es negativa, la recta decrece. Si es cero, la recta es horizontal. Cuanto mayor es el valor absoluto de la pendiente, más inclinada estará la recta.

Por otro lado, la ordenada en el origen nos indica el punto en donde la recta "corta" al eje de ordenadas, al eje OY. Si la ordenada es positiva, la recta corta al eje OY por encima del origen. Y si es negativa, por debajo. Si la ordenada es cero, la recta pasa por el origen.

La siguiente escena de GeoGebra te permite manipular estos dos parámetros, y observar cómo influyen en la gráfica de la función lineal.

2º ESO. Función lineal I: dibujar la gráfica si se conoce la pendiente y la ordenada en el origen.

Volvemos a incrustar una escena de GeoGebra que ya utilizamos en una entrada anterior de este blog.

El objetivo de la escena es representar la gráfica de una función lineal de la que conocemos su expresión analítica, es decir, la pendiente y la ordenada en el origen.

Para dibujar la función sólo tendréis que desplazar los dos puntos que aparecen en la pantalla. Cuando vuestra gráfica sea la correcta, aparecerá un mensaje de confirmación.

#LocosXCiencia: concurso de monólogos para estudiantes

El final del curso 2014-15 está a la vuelta de la esquina, el calor nos agobia y todos queremos refrescarnos para aliviar un poco el paso de los últimos días de clase. Poner una nota de humor seguro que es una buena idea para bajar las temperaturas.

Gracias a mi compañero Luis Miguel Iglesias, me he enterado de que la Fundación Telefónica desarrolla el programa #LocosXCiencia que tiene como objetivo incentivar las vocaciones científicas entre la población más joven. Dentro de este proyecto se incluye el concurso de monólogos para estudiantes.

En este enlace podéis acceder a los perfiles de los seis finalistas de este año 2015. Como se puede ver, todos ellos son chicos y chicas entre los 14 y 16 años, es decir de los últimos años de Secundaria. Adolescentes llenos de imaginación, alegría y capacidad de transmitir conceptos científicos de una forma cercana y llena de humor.

Como ejemplo, os dejamos aquí el monólogo que obtuvo el premio al "Más original y sorprendente". Lo llevó a cabo Cristina del Valle, alumna de 14 de años del IES Villajunco en Santander. Su título es "Dorada proporción". Espero que disfrutéis de su frescura y simpatía, así como de su habilidad para comunicar ideas matemáticas de un modo ameno.

En este otro enlace podéis ver los vídeos de los restantes finalistas.

1º BTO, 4º ESO. Cuatro funciones y un punto: límites y continuidad.

Insertamos a continuación una escena de GeoGebra en la que se pueden estudiar los límites laterales y la continuidad de cuatro funciones en un mismo punto.

Los botones incluidos en la escena permiten cambiar de función y moverse en las cercanias del punto, tanto a la izquierda como a la derecha del mismo. Esto facilita conocer cómo cambia f(x) cuando x se aproxima al punto.

2º ESO C. Más Trend que nunca: gráficas para viajar.

En la entrada anterior ya hablamos y trabajamos con Google Trend. Ahora vamos a utilizarla para intentar ser buenos vendedores y dar a nuestros clientes lo que ellos realmente quieren.

En esta tarea supondremos que trabajamos en una Agencia de Viajes situada en Andalucía, y que se dedica sobre todo a vender escapadas a las grandes capitales europeas.

Nuestros jefes nos piden que diseñemos un folleto en donde se hará publicidad de cinco de estas capitales. En el anuncio aparecerán cinco fotos, con la imagen de cada una de las capitales, y sus tamaños serán proporcionales al interés que tengan nuestros clientes por viajar a cada una de las ciudades.

 Resultado de la búsqueda de los términos Venecia y Munich, en Andalucía, a lo largo del verano de 2013

¿Y cómo nos enteramos nosotros del interés a visitarlas? Exacto, lo has adivinado, la respuesta está en Google Trend.

Elige tú las cinco capitales que creas más importante de Europa, y realiza con Trend una búsqueda comparativa de ellas, a lo largo de los meses de junio, julio, agosto y septiembre de los últimos cinco años. Recuerda que tu búsqueda se debe limitar a Andalucía y a los meses de verano de los años 2011 a 2015.

Captura las imágenes de estos cinco gráficos, y tras estudiarlos atentamente, decide el tamaño de las fotos de cada una de las ciudades que vas a incluir en tu folleto. Teniendo en cuenta tu estudio de los cinco gráficos, explica tu elección de los tamaños. Por últmo, elabora el folleto.

Resumiendo, tu trabajo debe incluir: las capturas de los cinco gráficos comparativos de Google Trend, la justificación del tamaño que has decidido que tenga cada foto, y el folleto publicitario.

2º ESO C. Google Trend: gráficas de funciones en acción.

La gráfica nos permite conocer de manera inmediata y sencilla las principales características de la relación estudiada entre las variables que participan en la función.

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos, el dominio y el recorrido son identificados de forma aproximada e intuitiva. Una segunda mirada hará posible detectar las posibles tendencias, la aparición de periodicidad, o cualquier otro tipo de regularidad.

Estudiar este tipo de conceptos asociados a una función, es mucho más atractivo si lo hacemos con relaciones que tienen que ver con la realidad, y si además son cercanas a nuestros intereses y están de actualidad, mucho mejor.

Google Trend es una herramienta del buscador Google que hace posible que todos estos requisitos se cumplan. Trend nos muestra de forma gráfica el volumen de búsqueda de cualquier término que nos interese.

En la imagen superior podemos ver el resultado que nos ofrece Trend al realizar la búsqueda de "ocho apellidos vascos". Como vemos, la búsqueda se realiza desde el año 2004. En el eje horizontal se sitúan los años, y en el vertical (no aparece dibujado) el volumen de búsqueda. Hay que indicar que siempre se asocia el valor 100 al mayor índice de búsqueda de todos los tiempos.

De la gráfica anterior se deduce que la búsqueda de "ocho apellidos vascos" se inició a principios de 2014, teniendo su índice de búsqueda más alto a mediados de ese año. Después, las búsquedas bajaron, repuntando un poco a inicios de 2015, más o menos cuando se celebraron los premios "Goya".

Trend también permite comparar búsquedas de varios términos.

En la imagen anterior se han comparado los términos "rajoy" y "pablo iglesias". Se puede apreciar como hasta finales de 2013, este último término casi era un desconocido en las búsquedas de Google.

Trend permite conocer punto a punto el volumen de búsqueda. Por ejemplo, en la imagen se puede ver que en noviembre de 2001, fecha más alta de búsquedas de "rajoy", "pablo iglesias" solo alcanzaba un 3%  del volumen de esas búsquedas.

Como primera actividad, te proponemos que comentes en tu cuaderno la forma que toma la gráfica correspondiente al volumen de búsqueda del término "navidad". A qué crees que debido esa silueta tan repetitiva.

Te pedimos además, que escribas un término en Trend que de lugar a una gráfica con características similares a la anterior. Escribe en tu cuaderno el término y copia la gráfica (o realiza una captura de pantalla de ella, y la imprimes y pegas en el cuaderno). 

Como segunda actividad, realiza en Trend una búsqueda comparativa de dos términos de artistas, grupos, películas, canciones, deportistas o personalidades que te interesen a ti. Haz un breve informe en tu cuaderno de la forma de ambas gráficas. Por ejemplo, puedes comentar desde cuando tienen relevancia las búsquedas, compara sus máximos y mínimos, sus intervalos de crecimiento, o cualquier otra cuestión que llame tu atención.

No te olvides de dibujar o pegar la gráfica en el cuaderno.

Por último, aquí te dejamos una imagen con las búsquedas más populares a lo largo de 2014 en España.

2º ESO C. Lenguaje gráfico de las funciones: fases lunares y amplitud de las mareas.

En la entrada anterior, ya comentamos que la función es una de las ideas más importantes en la historia de las matemáticas, y que ha demostrado su utilidad y adaptación a una gran diversidad de ramas científicas, tanto empíricas como sociales y humanas.

También dijimos que la representación gráfica es la expresión más cercana y accesible de las distintas maneras que hay de describir una función.

Otra forma de expresar una función es mediante una tabla. En ella, se emparejan los valores de las dos variables que se relacionan en la función. A continuación, estudiaremos dos funciones representadas de estas dos formas diferentes: tabla y gráfica.

Seguro que a todos nos suena que la amplitud de las mareas en las costas tiene que ver con la fase en que se encuentra la Luna. En esta entrada vamos a ver que hay de cierto en ello, y vamos a tener la inestimable ayuda de las gráficas de dos funciones, para estudiarlo.

En la página TuTiempo.net, es posible conseguir los datos de cómo va cambiando el porcentaje de iluminación de la Luna en el transcurso de un mes. En la siguiente imagen pueden ver cómo estuvo la Luna en los cuatro primeros días de mayo de 2015. El porcentaje de iluminación de cada día, se indica en la segunda columna.

Por otro lado, en la página Tabla de mareas, se puede ver cómo va variando la amplitud de la marea en los diferentes días a lo largo de una mes. En la imagen se puede apreciar cómo lo hizo en la costa de Rota, Cádiz, en esos días de mayo de 2015. La amplitud de marea, corresponde a la última columna de la tabla, la que llama coeficiente.

Como tarea, te pedimos que relaciones esas dos variables a lo largo de todo el mes de mayo de 2015: la iluminación de la Luna y la amplitud de la marea.

Para ello, tienes que representar en unos mismos ejes cartesianos las gráficas correspondientes a las dos tablas anteriores: la que a cada día le asocia la iluminación de la Luna, y la que a cada día le asocia la amplitud de la marea.

En el eje horizontal, el de abscisas, colocarás los 31 días de mayo. Mientras que en el vertical, el de ordenadas, situarás a la vez, la iluminación y la amplitud de la marea.

Debes representar dos puntos por cada día, uno que corresponde a la iluminación de la Luna, y otro a la longitud de la marea. Los puntos de la iluminación, todos del mismo color, y los de la longitud todos también iguales,  pero de otro color diferente. 

Cuando termines de representar los puntos, une con lineas, por un lado, los de la amplitud de la Luna, y por otro, los de la amplitud de la marea.

Una vez construidas las dos gráficas, estúdialas y escribe un comentario sobre si están relacionadas de alguna manera. Es decir, si los cambios en una, influyen en los cambios de la otra.

2º ESO C. Ejes coordenados: los puntos hablan.

El concepto de función es uno de los más sobresalientes e influyentes tanto en la historia de las matemáticas como en el desarrollo de otras ramas de las ciencias.

En  un primer acercamiento a las funciones es recomendable dar importancia a su representación gráfica, ya que es la más visual e intuitiva de sus expresiones.

Gracias a Descartes y otros pensadores de su época, es posible representar con facilidad relaciones entre variables en el plano cartesiano.

Previo al estudio del lenguaje gráfico de la funciones es fundamental tener destreza a la hora de representar puntos en unos ejes coordenados, y también interpretar con corrección la información que transmiten en el caso de que dichos puntos se encuentren situados en contexto.

Por ejemplo, podemos analizar y representar la estadística del tiempo jugado y los puntos conseguidos por los jugadores que participaron en un partido de baloncesto.

En la página de ACB, es posible conocer con todo detalle las estadísticas de los partidos de la liga de la Primera División de Baloncesto. Es el caso del partido celebrado el 10 de mayo de 2015 entre el UCAM Murcia CB y el Guipozkoa Basket, que finalizó con el resultado 99-68, a favor del equipo murciano.

Como se puede ver, en la tabla anterior, para cada jugador participante, se relacionan el tiempo jugado en minutos y los puntos conseguidos. Dicha información es posible expresarla mediante puntos en unos ejes coordenados.

A cada jugador le corresponde un punto en los ejes coordenados de la imagen anterior. Se ha elegido igual color para los puntos que representan a los jugadores del mismo equipo. El lugar que ocupa cada punto indica la eficacia del jugador en lo que respecta a la relación tiempo jugado / puntos conseguidos. Obsérvala con atención y contesta en tu cuaderno las siguientes cuestiones.

1. ¿A qué equipo corresponde los puntos de color rojo? Explica tu respuesta.
2. Hay dos jugadores que coinciden en tiempo jugado y puntos conseguidos. ¿Cuáles son y cómo se manifiesta ese hecho en el gráfico?
3. Los jugadores que han conseguido menos puntos, dónde sitúan en los ejes coordenados. ¿Y los que han jugado más tiempo?
4. ¿Cuál crees que ha sido el jugador menos efectivo del partido si tenemos en cuenta la relación entre tiempo jugado y puntos encestados? ¿Por qué? ¿Y el más efectivo? Explica el motivo por el que lo has escogido.

A continuación, elige un partido de dicha liga y copia en tu cuaderno, tanto la tabla de tiempo de juego y puntos conseguidos por los jugadores, como unos ejes coordenados similar al de arriba, donde representes los puntos que corresponden a esas dos variables para cada uno de los jugadores. Realiza un comentario sobre la distribución de los puntos que representan a jugadores del mismo equipo, y el resultado del partido.

Para terminar, te dejamos aquí una escena de GeoGebra en la que se te pide que representes nueve puntos en unos ejes coordenados. Cuando lo hagas correctamente, mándale a tu profesor una captura de pantalla con tu trabajo.

4º ESO, 1º BTO. Funciones cuadráticas y de proporcionalidad inversa.

La expresión más atractiva de una función es su representación gráfica. Dibujar la gráfica a partir de la expresión analítica es una de las tareas estrella en el aprendizaje de las matemáticas escolares de los niveles secundarios.

A pesar de las nuevas herramientas informáticas (GeoGebra, Wiris, incluso el buscador de Google representa gráfica de funciones), dedicamos gran parte de tiempo y esfuerzo en que los adolescentes sean diestros en la representación manual de las funciones elementales.

Las dos escenas que presentamos tienen como objetivo ayudar en el entrenamiento de las habilidades de cálculo y conocimiento de las propiedades necesarias para representar funciones cuadráticas y de proporcionalidad inversa.

Funciones cuadráticas

Funciones de proporcionalidad inversa

2º ESO C. Puzzle algebraico: sistemas de ecuaciones lineales.

En esta entrada vamos a utilizar uno de los magníficos "objetos digitales educativos" que el genial profesor de Física y Química, Jesús Peñas Cano, pone a disposición de toda la comunidad educativa, en su popular y conocida página Educaplus.

Jesús es buen amigo, y de forma generosa ha facilitado que podamos disfrutar en nuestro blog de uno de sus recursos, el denominado "Puzzle algebraico".

Como podemos observar, en él se plantean de forma visual y atractiva la búsqueda de los valores de varios objetos. Para encontrar la solución no es necesario saber resolver sistemas de ecuaciones. Basta combinar con efectividad sencillos razonamientos lógicos y operaciones básicas.

A nosotros nos interesa dejar constancia de ambas acciones, por ello, con cada escena que resolvamos debemos de completar el siguiente cuestionario.

1. Copia la escena que aparece en el cuaderno.
2. Expresa con lenguaje cotidiano las 7 relaciones que hay en la escena.
3. Escribe una ecuación para cada una de las 7 relaciones. Deja claro qué representan las incógnitas.
4. Averigua de forma intuitiva el valor de cada objeto, es decir el valor que corresponde a cada incógnita. Como ayuda, puedes utilizar un guión del tipo:

• Me he dado cuenta de que ………………………………………………. por lo que el valor del objeto  ……………. tiene que ser ………………
• Sabiendo eso, he visto que ………………………………….. por lo que el objeto …………………….  tiene que valer ……………..
• Por último, y dado que ……………………………………….., he deducido que el valor del objeto …………………… es ………………..

Por último, comprueba en la escena si tus respuestas son correctas.

2º ESO C. Ecuación lineal con dos incógnitas: buscando soluciones

En la siguiente escena de GeoGebra podrás poner a prueba tu habilidad para encontrar soluciones a una ecuación lineal con dos incógnitas.

Como en otras ocasiones, cada vez que inicies la escena, los datos cambiarán. Así podrás practicar todas las veces que te apatezca. Más adelante las ecuaciones dejarán de estar solas, y aparecerán en pareja. Nos enfrentaremos a los populares sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

2º ESO C. Más tapas: ecuaciones con dos incógnitas.

Resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas es uno de los aprendizajes clásicos de las matemáticas en la educación secundaria.

Antes de conocer los métodos usuales de resolución, es importante entender el concepto de soluciones de una ecuación con dos incógnitas.

En la siguiente escena de GeoGebra se plantea un problema en situación en el que se pide que se halle lo que cuestan un sándwich y un refresco. En definitiva, que encontremos soluciones a una ecuación con dos incógnitas.

Observa y manipula la escena hasta que entiendas los elementos que la componen, qué se pide y cómo trabajar con ella.

A continuación, copia en tu cuaderno y contesta las siguientes cuestiones.

a) Haz un dibujo que represente el problema que se plantea en la escena.

b) Escribe una ecuación con dos incógnitas que exprese el problema propuesto en la escena. Determina con claridad quiénes son cada una de las dos incógnitas.

c) Realiza y explica en tu cuaderno los cálculos que consideres oportuno para encontrar el precio que tiene cada uno de los productos.

d) Comprueba utilizando la opción que aparece en la escena, que tus soluciones son correctas.

e) ¿Eres capaz de encontrar otras soluciones diferentes a las que has obtenido antes? Justifica que son soluciones también, y compruébalo en la escena.

Reinicia la escena y contesta a las preguntas, al menos dos veces más.

El objetivo de esta tarea es que entiendas con claridad  el significado de solución de una ecuación con dos incógnitas.

2º ESO C. Polinomios y poliedros.

Realizar con cierta soltura sumas y productos de polinomios suele suponer un importante obstáculo en el aprendizaje de las destrezas de cálculo con expresiones algebraicas.

Gracias a las herramientas informáticas denominadas de cálculo simbólico (Wiris, GeoGebra y otras), en la actualidad estas operaciones se pueden realizar con rapidez y seguridad.

A pesar de ello, consideramos conveniente que los alumnos adquieran cierta habilidad y seguridad en el manejo y comprensión de operaciones sencillas con polinomios.

Ese es el objeto que persigue la siguiente actividad, y para ello utiliza como contexto el cálculo de las dimensiones de un ortoedro.


Debes tener en cuenta que, cada vez que ejecutes las actividad, las dimensiones del ortoedro serán diferentes.

2º ESO. Índice de Masa Corporal: el álgebra pone los límites

"¿Para qué me va a servir aprender álgebra?"

Preguntas y quejas parecidas a estas son las que plantean los alumnos cuando tienen que aproximarse a las temidas incógnitas. Y no les falta razón, ya que casi siempre las utilizan en ejercicios y problemas alejados de sus intereses y con pocas aplicaciones en la vida real.

Presentamos una actividad en contexto donde el lenguaje algebraico desempeña un papel importante. Una fórmula es la que sitúa el límite entre tener o no un cuerpo saludable.

 Foto de Ramón Torrent con licencia CC by-nc-sa 2.0

El siguiente texto es un extracto de un artículo publicado en la edición digital de el diario El País en septiembre de 2006.

"La Pasarela Cibeles ha rechazado para su próxima cita a un 30% de las modelos que desfilaron en la pasada edición al no ajustarse a los parámetros marcados por la Comunidad de Madrid para ofrecer un aspecto saludable, en torno a un 18% de masa corporal, es decir, unos 56 kilos para una estatura de 1,75. En todo caso, este criterio para poder desfilar es el mínimo saludable y roza el establecido por la Organización Mundial de la Salud (OMS).

La doctora Susana Monereo, miembro de la Asociación Española de Endocrinología y Nutrición, ha explicado que el índice de masa corporal relaciona el peso de cada persona con su estatura y permite conocer con carácter general su estado nutricional. Su cálculo se realiza al dividir el peso en kilos por el cuadrado de la estatura, y el resultado debe oscilar entre 18 y 25 para considerarse saludable. Según la OMS, una masa corporal inferior a 18,5 indica infrapeso. Asimismo, por debajo de 16,5 supondría un "criterio de ingreso". Superar los 18,5 ya supone tener un "peso normal" acorde con la estatura. (...) conscientes de la influencia de Pasarela Cibeles porque "es el espejo de muchas jóvenes", se ha trabajado para que las modelos sean más saludables y se ha decidido adoptar el criterio de masa corporal como referencia, al entender que las tallas no están homologadas ni son las mismas en todos los países, aunque en España se realizará un estudio antropométrico para estandarizarlas.

En la próxima edición de Pasarela Cibeles, del 18 al 22 de septiembre, las modelos responderán a estos cánones, que ya se han respetado en la preselección de candidatas a mostrar las propuestas para la primavera-verano de 2007. Estos parámetros han sido constatado por expertos en nutrición y endocrinología y se repetirán antes de los desfiles (...). Es la primera vez que una pasarela internacional adopta medidas para evitar transmitir unos cánones de belleza que, asociados a la extrema delgadez, pueden provocar trastornos de salud como la anorexia y la bulimia. También se han puesto en marcha medidas como la de impedir la participación de menores de 18 años y que el maquillaje de las chicas no simule rostros demacrados."

Lee con atención y detenimiento el artículo, e intenta comprender todo lo que en él se dice. Si hay alguna palabra que no entiendes, búscala en el diccionario (en este enlace puedes acceder al de la RAE).

A continuación, contesta a las siguientes cuestiones.

• Escribe un titular para la información que contiene el artículo. Redacta también un breve resumen, de no más de cuatro o cinco líneas.
• ¿En qué consiste el Índice de Masa Corporal (a partir de ahora lo abreviaremos por IMC), del que se habla en el artículo? ¿Para qué se utiliza?
• ¿A qué se refiere el artículo cuando dice que un IMC por debajo de 16,5 supone un "criterio de ingreso"?
• ¿Y cuándo dice que se han puesto medidas para que el maquillaje de las chicas no simule rostros demacrados?
• Escribe utilizando el lenguaje algebraico una fórmula que permita calcular el IMC de forma rápida. No te olvides de indicar en qué unidades se miden cada una de las variables.
• Comprueba que tu fórmula es correcta, sustituyendo en ella los valores que se mencionan en el primer párrafo del texto.
• Escribe en no más de dos o tres líneas tu opinión personal respecto a lo que se dice en el artículo.

Por último, hay que tener en cuenta que el IMC es sólo un índice general que no contempla cuestiones como sexo, edad o constitución corporal. Para leer el artículo completo utiliza este enlace.

2º ESO C. Vamos de tapas: iniciación al lenguaje algebraico

La tarea que proponemos a continuación tiene el objetivo de introducir el lenguaje algebraíco de una forma práctica y contextualizada. 

Esperemos que tengáis buen provecho.

En un local de comida rápida sólo sirven tres tipos de bebidas: zumos, aguas minerales y refrescos. Y sólo se puede elegir entre comer pizzas,  hamburguesas o tortilla de patatas.

La pantalla de la caja registradora tiene el siguiente aspecto:

El  camarero debe teclear el número de artículos que le piden y después el icono correspondiente.

Por ejemplo, si le piden  tres aguas minerales, dos zumos, un refresco, dos pizzas, una hamburguesa y una tortilla, teclearía.

Lo anterior lo podíamos expresar en el lenguaje coloquial como:

3 aguas + 2 zumos + 1 refresco + 2 pizzas + 1 hamburguesa + 3 tortillas

• Escribe en tu cuaderno de trabajo lo que teclearía el camarero si en otra mesa le piden 2 aguas minerales, 3 refrescos, 2 zumos, 2 pizzas y 3 hamburguesas y 1 tortilla. Expresa  también  la suma total de los dos pedidos anteriores.

Para escribir menos, el primer pedido también lo podíamos expresar de la siguiente manera:

3 a + 2 z + 1 r + 2 p + 1 h + 3 t

• Escribe de esta última forma, lo que pidieron en la otra mesa y la suma total de los dos pedidos.

• Un grupo de amigos entra en el local y, en un primer momento, piden: 2 a + 4 z + 2 r + 1 p + 4 h + 3t. Tradúcelo al lenguaje coloquial y escríbelo en tu cuaderno de trabajo.

• En una segunda ronda, el grupo de amigos pide: 1 a + 5 z + 2 r + 2 p + 5 h + 1 t. Expresa de forma simplificada la suma total de las dos rondas.

• Por último, el agua mineral cuesta 1 euro, el refresco 1,5 y el zumo 2. En tanto que la pizza, hamburguesa y tortilla salen por 2 euros. Calcula lo que ha costado cada uno de las dos rondas y la suma de ambas.

2º ESO C. Una mirada matemática a la visita de la Casa de la Ciencia de Sevilla

El pasado martes día 3 de febrero, hicimos una visita a la Casa de la Ciencia de Sevilla. Pudimos recorrer y visitar tres interesantes exposiciones: La mar de Cetáceos, Explora 540 millones de años e Invertebrados de Andalucía. Además, pudimos disfrutar del taller sobre ingenio y creatividad: Brain Games, pon a prueba tu cerebro.

Ver mapa más grande

A raíz de dicha visita, he querido poner la mirada en dos aspectos matemáticos de lo que allí vimos.

Por un lado, y dentro de la exposición sobre invertebrados, había expuesto un panel que enumeraba la cifra aproximada de especies que se han encontrado de diferentes tipos de organismos vivos.

 Os propongo una tarea, que calculéis el número de especies de insectos que hay por cada especie de cada uno de los otros organismos, es decir: molúscos, protozoos, hongos, gusanos, vertebrados o crustáceos.

Por último, y en la exposición sobre geología, pudimos ver una línea del tiempo que se alejaba 540 millones de años hacia el pasado. Ese mismo día, apareció en el diario El País una noticia que informaba sobre un estudio que decía haber descifrado el antepasado común que compartimos con el resto de organismos vivos que poseen células con núcleos, los eucariotas.

Toda la noticia es interesante, pero me quedo con el primer párrafo. En él se hace un viaje al pasado y se mencionan las fechas en que los antepasados de los humanos y otros organismos se separaron.

¿Alguien se atreve a dibujar una línea del tiempo a escala con esos datos?

2º ESO C. Sombras y proporcionalidad.

A lo largo de la historia, observar el movimiento del Sol, la Luna y demás cuerpos que se desplazan por el cielo, ha sido uno de los motores que ha impulsado la creación científica de la humanidad.

Un bello ejemplo es el de la analema, la curva que describe el Sol si se le observa a lo largo de todo un año desde el mismo punto de la Tierra y a la misma hora cada día.


A veces no es el Sol lo que se observa y estudia, sino las sombras que produce sobre los objetos que nos rodean.

Es conocida la forma en que Eratóstenes, hace más de 2100 años, calculó el tamaño de la Tierra, utilizando tan sólo, su inteligencia y la observación de sombras.


A una hora determinada del día, en un mismo lugar de la Tierra, la relación que existe entre la altura de los objetos y las longitudes de las sombras que proyectan, es proporcional.

Utilizando lo anterior, te pedimos que determines la altura del árbol que aparece en la siguiente escena de GeoGebra.


Una vez hallada la altura del árbol, realiza una captura de pantalla de la escena, y le mandas un correo a tu profesor o profesora con la imagen y los cálculos que has realizado.

Ten en cuenta que, cada vez que entres en la escena, las medidas serán diferentes.

2º ESO C. Matemáticas en los escaparates: las rebajas

Una de las temporadas más clásicas de rebajas en los comercios es la que abarca los meses de enero y febrero.

Hablar de rebajas es hablar de descuentos y de porcentajes. Los escaparates de todos los comercios están a rebosar del manoseado símbolo %. O de la proposición "hasta", seguida de un número de dos cifras, cercano a 100. Por no decir nada de la conocida pareja "antes" y "ahora", acompañadas de dos cifras menguantes.

Las dos imágenes son de elaboración propia

Como tarea os proponemos que hagáis fotos a los escaparates y que realicéis matemáticas con los descuentos y porcentajes que aparecen en ellas.

Por ejemplo, con la primera imagen que aparece más arriba, nos podríamos preguntar por el valor del porcentaje que significa el descuento que se expone.

Respecto a la segunda imagen, nos plantearíamos cuál sería el precio después de los descuentos que se anuncian, de un pantalón que costaba antes de la rebajas 65 euros.

Aprovechemos las rebajas para comprar lo que necesitamos a más bajo precio y, de camino, para hacer matemáticas.

Estadística II: medidas de centralización y dispersión

Dejamos a continuación dos presentaciones en las que se explican con detenimiento cómo calcular las medidas de centralización y dispersión de un estudio estadístico.

En las dos presentaciones, las explicaciones se realizan sobre un estudio real, la Encuesta sobre participación de la población adulta española en actividades de aprendizaje (EADA 2007).

   

Números para la búsqueda de otras tierras

Los números en la escuela suelen jugar un papel importante, pero en la mayoría de las ocasiones aparecen sólo en operaciones y cálculos más o menos complicados, dependiendo del nivel educativo.

Dedicamos gran parte de las clases de matemáticas a operar y simplificar expresiones numéricas ajenas a cualquier contexto y carentes de significado. Solemos conformarnos con pensar que los cálculos sirven para entrenar la inteligencia lógica y formal de los jóvenes, además de ser muy útiles para futuros estudios. Estudios donde tendrán que realizar operaciones mucho más complicadas.

Pasado el tiempo, nos escandalizamos cuando aquellos jóvenes se han convertido en adultos que no saben hallar un sencillo descuento porcentual, o no entienden un artículo periodístico dedicado a la divulgación científica.

El profesor norteamericano John Alles Paulos es el autor de "El hombre anumérico", un libro dedicado al analfabetismo matemático de las sociedades actuales, tan mediáticas, sobre informadas y tecnificadas.

Creemos que saber operar es necesario, pero es más importante tener competencia numérica. Entendida esta como la capacidad de conocer los números, su significado, las operaciones básicas, y realizar un uso adecuado de sus diferentes formas de expresión, tanto para entender como transmitir información.

Hace unos días apareció la noticia de que se ha encontrado un sistema solar con planetas que son candidatos a albergar vida.

Un vídeo de la UNED nos explica qué son los exoplanetas y la zona de habitabilidad.


Por otro lado, la edición digital del diario ABC, dedicaba el artículo "Hallan un nuevo planeta prometedor para la vida", al exoplaneta encontrado recientemente. Para entender dicha noticia es necesario poseer cierta competencia numérica.

El nombre de la estrella, ya exige la participación de los números: EPIC 201367065. Aunque en este caso, solo sirven para identificar el planeta.

A continuación, se dice que la estrella tiene aproximadamente la mitad de masa y tamaño que nuestro Sol. Y que se encuentra muy cerca de nosotros, a tan solo 150 años luz. ¿Cuántos kilómetros son esos 150 años luz? ¿Realmente está tan cerca?

Lo más interesante viene a continuación. El sistema solar de EPIC posee tres planetas que tienen 2,1, 1,7 y 1,5 veces el tamaño de la Tierra. Y que reciben 10,5, 3,2 y 1,4 veces la intensidad de luz de la Tierra. ¿Qué quieren decir esos números decimales? ¿Son planetas más pequeños o mayores que la Tierra? ¿Qué porcentaje tienen de masa, comparada con la terrestre?

En otro artículo de ABC, "Los diez planetas más aptos para la vida fuera del Sistema Solar", se hace un repaso detallado de los planetas candidatos. En él, los números expresados como decimales, porcentajes o intervalos, tienen un papel importante.

La Universidad de Arecibo en Puerto Rico, posee una página, Planetary Habitability Laboratory, dedicada a clasificar los exoplanetas que potencialmente, pudieran albergar vida.

 A la vista de lo anterior, parece que en la probabilidad de encontrar un planeta en el que haya vida, mandan los números.

Como tarea para nuestros alumnos, les proponemos que construyan una tabla con todos los planetas del Sistema Solar, en la que indiquen sus tamaños, masas y distancias al Sol, utilizando las medidas de la Tierra como unidad. Haz clic aquí para acceder a la plantilla de la tarea.

Estadística I: algunos datos nacionales y europeos

No hay duda de que la Estadística es la rama de las Matemáticas que más aparece en los medios de comunicación. Se puede decir que un ciudadano que no entiende con claridad los gráficos, tablas y resultados de un estudio estadístico, no está bien preparado para entender la realidad en sus diferentes facetas.

Veamos algunos ejemplos de lo que acabamos de comentar.

Empecemos con uno de los estudios estadísticos que el Centro de Investigación Sociológicas (CIS), realiza con periodicidad: los Indicadores de Confianza del Consumidor. Nos vamos a fijar en el realizado en noviembre de 2014. En la descripción de su ficha técnica, aparecen todos los conceptos iniciales con los que comenzamos siempre las clases de Estadística Descriptiva: población, muestra, individuo.

Veamos algunas de las preguntas que se plantean en el Indicador de 2014, con sus respectivas respuestas.

Estas siete preguntas, son una foto fija del ánimo y la situación de la población española según el CIS. En ellas aparecen los diferentes tipos de variables estadísticas que estudiamos: cualitativas, cuantitativas, discretas y continuas.

Una tarea que podríamos plantear a nuestros alumnos es que representen cada una ellas con el gráfico estadístico que consideren más adecuado. De otras, por ejemplo la 5 y la 29, se podrían hallar sus medidas de centralización y dispersión, para posteriormente analizar los resultados obtenidos.

Y hablando de análisis, otra tarea también interesante, sería la de comparar los resultados de dos Indicadores de diferente fecha. Por ejemplo, el de enero de 2014 y este de noviembre. Les pedimos que comparen los resultados de las siete preguntas anteriores, y que saquen sus propias conclusiones sobre cómo ha variado la confianza de los consumidores.

Pasamos ahora a uno de los estudios más esperados del Instituto Nacional de Estadística (INE), el relativo a la Tasa de Paro de España. Una de las opciones que ofrece la página de INE, permite ver cómo va variando la Tasa a lo largo del tiempo en las diferentes comunidades autónomas.

Los datos que aparecen en la tabla anterior se comentan por sí solo. Quizás sea conveniente resaltar que las cifras son en tanto por ciento respecto al total de la población en edad de trabajar.

Por último, Eurostat, es la institución que a nivel europeo realiza la misma función que el INE. Son muy interesantes sus estudios comparativos sobre diversos aspectos sociales, económicos de formación, entre los diferentes países europeos.

Vamos a poner nuestra atención en uno publicado recientemente.

Como se puede apreciar en la imagen anterior, el estudio expresa la Tasa de Paro en cada una de las regiones europeas. La utilización de colores facilita mucho el análisis comparativo. Por decirlo brevemente, cuanto más verde, mayor Tasa, en tanto que el amarillo indica menor Tasa.

Como tarea para nuestros alumnos, podríamos pedirle que construyeran un gráfico estadístico de colores, similar al de la imagen, pero utilizando como datos los aparecidos en la tabla de Tasa de Paro por comunidad autónoma que hemos presentado más arriba.

Esperamos que los estudios anteriores sirvan como ejemplo para demostrar que sin unas nociones básicas de estadística es imposible ejercer una ciudadanía responsable y crítica.